贡献者： 零穹
在变分一节中，我们得到泛函
\begin{equation}
J(y)=\int_a^bF(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
变分的表达式
式 18 ，即
\begin{equation}
\delta J=\int_a^b \left[F'_y(x,y,y')\delta y+F'_{y'}(x,y,y')\delta y' \right] \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
利用分部积分
式 1 ，可以将上式积分号下只表达为 $\delta y$（
拉格朗日变换）或 $\delta y'$（
黎曼变换）的线性函数
定义 1 。这就是这里说的
变分的变换.
若在点 $a$ 及 $b$ 上，$\delta y=0$，那么：
- 拉格朗日变换：
\begin{equation}
\delta J=\int_a^b \left(F'_y- \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F'_{y'} \right) \delta y \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
- 黎曼变换：
\begin{equation}
\delta J=\int_a^b \left(F'_{y'}-N \right) \delta y' \,\mathrm{d}{x} ,\quad where \;N=\int_a^xF'_y \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
注意，在引出式 2 时，仅假定 $y(x)$ 是 $C_1$ 类的，即 $y(x)$ 具有连续微商 $y'(x)$, 而没有假定 $y'(x)$ 可微分。这将使我们看到，拉格朗日变换是不合法的，取而代之的将是黎曼变换。
1. 证明
拉格朗日变换
利用分部积分，有
\begin{equation}
\int_a^bF'_{y'}\delta y' \,\mathrm{d}{x} = \left[F'_{y'}\delta y \right] _a^b-\int_a^b\delta y \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F'_{y'} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
这里使用了
式 17
\begin{equation}
\delta y'=\overline{y}'-y'=(\overline{y}-y)'=(\delta y)'~.
\end{equation}
当 $\delta y$ 在 $a,b$ 处为 0 时，
式 5 第一项为 0，代入
式 2 即得
式 3 。
但是，在进行分部积分式 5 时，必须要求，$ \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F'_{y'}$ 存在，而 $F'_{y'}(x,y,y')$ 也是 $y'$ 的函数，这要求 $y'$ 对 $x$ 可微分，即 $y''$ 要存在。然而正如上面所提到的，这是没有假定的，即 $y''$ 不一定存在，所以拉格朗日变换不合法。
黎曼变换
为要去除 $y''$ 的存在的附加假设，黎曼提出另外的变分变换。
令 $N(x)=\int_a^xF'_y \,\mathrm{d}{x} $，代入式 2 ，得
\begin{equation}
\delta J=\int_a^b \left[ \frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{x}} \delta y+F'_{y'}\delta y' \right] \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
应用分部积分
\begin{equation}
\int_a^b \frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{x}} \delta y \,\mathrm{d}{x} = \left[N\delta y \right] _a^b-\int_a^bN\delta y' \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
上式代入
式 2 ，并考虑在 $a,b$ 处 $\delta y=0$，即得
式 4 。显然，这个变换不要求函数 $y(x)$ 的附加条件。