贡献者： 零穹
泛函是函数概念中自变数用函数替换的推广，而变分则是函数微分在泛函里的推广。简单来说，正如微分为函数改变量的主要线性部分，变分是泛函改变量的主要线性部分。另一方面，若将函数和泛函用参数的形式表示，则函数 $\phi(t)=f(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n) $ 的微分是 $\phi(t)$ 对于 $t$ 在 $t=0$ 上的微商，而泛函 $J(y+t\eta)$ 的变分是函数 $\varphi(t)=J(y+t\eta)$ 对于参变数 $t$ 在 $t=0$ 时的微商。下面来具体讨论！
1. 微分
先简略复习一下多元函数微分的定义是有必要的。
微分第一定义
设已给函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 具有一阶连续偏微商，则有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&f(x_1+h_1,\cdots,x_n+h_n)-f(x_1,\cdots,x_n)\\
&=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i} h_i+\epsilon~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $\epsilon$ 是相对于 $ \left\lvert h_i \right\rvert $ 中最大者（或 $\sqrt{h_1^2+h_2^2+\cdots+h_n^2}$）的 高阶无穷小。而
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i} h_i~
\end{equation}
是改变量 $h_1,h_2,\cdots,h_n$ 的线性函数，称为函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 的
微分。
微分第二定义
$n$ 维空间中，过点 $(x_1,\cdots,x_n)$ 和 $(x_1+h_1,\cdots,x_n+h_n)$ 的直线为 $(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n)\;(-\infty< t<+\infty)$。在这条直线上函数 $f$ 化为参变数 $t$ 的函数
\begin{equation}
\phi(t)=f(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n) ~,
\end{equation}
则有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi'(t)&= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} f(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n) \\
&=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f(x_1+th_1,\cdots,x_n+th_n)}{\partial x_i} h_i~,
\\
\Downarrow
\\
\phi'(0)&=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i} h_i~,
\end{aligned}
\end{equation}
这就是说，微分 $\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f(x_1,\cdots,x_n)}{\partial x_i} h_i$ 是 $\phi(t)$ 对于 $t$ 在 $t=0$ 上的微商。
2. 变分
变分第一定义
设已给泛函
\begin{equation}
J=\int_a^b F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
这里 $F$ 对于三个变数都有连续的二阶微商，并且 $y=y(x)$ 属于具有连续微商的函数类 $C_1$（若函数 $f(x)$ 在其定义域上直到 $n$ 阶微商都连续，则称 $f(x)$ 是
$C_n$ 类的）。
设 $y(x),\overline{y}(x)$ 是 $C_1$ 类的，且
\begin{equation}
\eta(x)=\overline{y}(x)-y(x)~,
\end{equation}
则 $\eta'(x)$ 显然是连续的。作
\begin{equation}
J(\overline{y})-J(y)=\int_a^b \left[F(x,y+\eta,y'+\eta')-F(x,y,y') \right] \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
由拉格朗日微分中值定理
定理 2
- 这里应该是多元函数的拉格朗日中值定理，应完善相关文章插入引用
式 7 可写为
\begin{equation}
J(\overline{y})-J(y)=\int_a^b \left[\tilde{F}'_y\eta(x)+\tilde{F}'_{y'}\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
其中 $\tilde{F}$ 表示它的变数 $\tilde{y},\tilde{y}'$ 分别在 $y,\overline{y}$ 和 $y',\overline{y}'$ 之间。
因为对 $a\leq x\leq b$，总假设曲线之间的距离是一级的定义 2 。有
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left\lvert \overline{y}-y \right\rvert < \left\lvert \eta(x) \right\rvert \leq r(y,\overline{y})~,\\
& \left\lvert \overline{y}'-y \right\rvert < \left\lvert \eta'(x) \right\rvert \leq r(y,\overline{y})~.
\end{aligned}
\end{equation}
由于 $F_y,F_{y'}$ 连续，任给 $\epsilon$，当 $r(y,\overline{y})$ 充分小时，将有
\begin{equation}
\left\lvert \tilde{F}'_y-F'_y \right\rvert <\epsilon~,\quad \left\lvert \tilde{F}'_{y'}-F'_{y'} \right\rvert <\epsilon~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
&J(\overline{y})-J(y)\\
&=\int_a^b \left[F'_y\eta(x)+F'_{y'}\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} +\int_a^b \left[(\tilde{F}'_y-F'_y)\eta(x)+(\tilde{F}'_{y'}-F'_{y'})\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} \\
&=\int_a^b \left[F'_y\eta(x)+F'_{y'}\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} +\epsilon_1r(y,\overline{y})~.
\end{aligned}
\end{equation}
这里根据不等式
式 10 ，$\epsilon_1$ 随 $r(y,\overline{y})$ 而趋于 0。表达式 $\int_a^b \left[F'_y\eta(x)+F'_{y'}\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} $ 与泛函改变量只差一个比 $r(y,\overline{y})$ 更高阶的无穷小量，它显然线性的依赖于 $\eta(x)$，即是泛函 $J$ 改变量的主要线性部分，称为泛函 $J$ 的
变分，记作 $\delta{J}$：
\begin{equation}
\delta J=\int_a^b \left[F'_y(x,y,y')\eta(x)+F'_{y'}(x,y,y')\eta'(x) \right] \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
可见，变分是依赖于函数 $y(x)$ 和改变量 $\eta(x)$ 的泛函。
变分第二定义
考虑一个含参的函数族 $y(x)+t\eta(x)$，其中 $y(x),\eta(x)$ 固定，泛函 $J(y+t\eta)$ 化为 $t$ 的函数
\begin{equation}
\varphi(t)=J(y+t\eta)~.
\end{equation}
由
式 11
\begin{equation}
J(y+t\eta)-J(y)=t\int_a^b \left(F'_y\eta+F'_{y'}\eta' \right) \,\mathrm{d}{x} +\epsilon_t~,
\end{equation}
其中，$\epsilon_t=\epsilon_1r(y,y+t\eta)=\epsilon_1 \left\lvert t \right\rvert r(y,y+\eta)$，且
\begin{equation}
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\epsilon_t}{t}=0~,
\end{equation}
因而
\begin{equation}
\varphi'(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{J(y+t\eta)-J(y)}{t}=\int_a^b \left(F'_y\eta+F'_{y'}\eta' \right) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
于是变分是函数 $\varphi(t)=J(y+t\eta)$ 对于 $t$ 在 $t=0$ 时的微商。于是，得到变分的另一定义：变分是函数 $\varphi(t)=J(y+t\eta)$ 对于参变数 $t$ 当 $t=0$ 时的微商。
函数的变分
在泛函的变分 $\delta J$ 的表式式 12 中，函数 $y(x)$ 的改变量 $\eta(x)$ 称为 $y(x)$ 的变分，记作 $\delta y(x)$，即
\begin{equation}
\delta y(x)=\eta(x)=\overline{y}(x)-y(x)~.
\end{equation}
因此，变分 $\delta J$ 式 12 可写为
\begin{equation}
\delta J=\int_a^b \left[F'_y(x,y,y')\delta y+F'_{y'}(x,y,y')\delta y' \right] \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}