贡献者： 零穹
正如习题 1 所示，绝对极值必定是相对极值，相对强的极值必定是相对弱的极值。所以，弱的相对极值的必要条件也是绝对极值和强的相对极值的必要条件。因为这个原因，弱的极值的必要条件就称为极值的必要条件。
曲线 $y=y(x)$ 实现了泛函 $J(y)$ 的极值的必要条件是：在曲线 $y=y(x)$ 的某个一级 $\epsilon-$ 邻区中，对任一曲线 $y=\overline{y}(x)$，$\Delta J=J(\overline{y})-J(y)$ 符号一定。
对于泛函 $J(y)=\int_a^bF(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} $，有下面关于极值的必要条件定理
定理 1
设 $y(x)$ 是 $C_1$ 类的子节 2 ，且 $y(a)=y_0,y(b)=y_1$。则 $y(x)$ 给出泛函 $J(y)=\int_a^bF(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} $ 的极值的必要条件是：变分
\begin{equation}
\delta J=\int_a^b[F'_y(x,y,y')\eta(x)+F'_{y'}(x,y,y')\eta'(x)] \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
对于 $C_1$ 类的任意满足 $\eta(a)=\eta(b)=0$ 的函数 $\eta(x)$，成立 $\delta J=0$。
1. 证明
由弱的相对极值的定义，若 $y(x)$ 实现 $J(y)$ 的弱的相对极值，则对 $y(x)$ 的某个一级 $\epsilon-$ 邻区中，任意 $\overline{y}(x)$，在弱极大时，$\Delta J=J(\overline{y})-J(y)\leq 0$；在若极小时，$\Delta J=J(\overline{y})-J(y)\geq 0$。即 $\Delta J$ 符号一定。
为证明定理 1 ，先引入一个引理。
引理 1
设 $d$ 是常数，$\alpha$ 可以任意方式趋于 0，$\epsilon_\alpha$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小且随 $\alpha$ 趋于 0。如果对于一切充分小的 $\alpha$，成立
\begin{equation}
\alpha d+\epsilon_\alpha\geq0\quad or\quad\alpha d+\epsilon_\alpha\leq0~,
\end{equation}
则 $d=0$。
证明： 设 $d\neq 0$。则因 $\epsilon_\alpha$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小，当 $\alpha\rightarrow0$ 时，表达式
\begin{equation}
d+\frac{\epsilon_\alpha}{\alpha}~
\end{equation}
将与 $d$ 的符号一致。所以，表达式
\begin{equation}
\alpha d+\epsilon_\alpha=\alpha \left(d+\frac{\epsilon_\alpha}{\alpha} \right) ~
\end{equation}
的符号取决于 $\alpha$。即若 $\alpha$ 与 $d+\frac{\epsilon_\alpha}{\alpha}$ 符号相反时，
式 4 为负，相同时为正。这与条件
式 2 相违背。因此，$d=0$。引理得证。
考虑函数 $y(x)+t\eta(x)$，则由式 11 ，式 12
\begin{equation}
J(y+t\eta)-J(y)=t\delta J+\epsilon_1 \left\lvert t \right\rvert r(y,y+\eta)~.
\end{equation}
式中，右边第二项是 $t$ 的高阶无穷小，并且式中已经使用了 $r(y,y+t\eta)= \left\lvert t \right\rvert r(y,y+\eta)$
定义 2 。
由于 $y(x)$ 给 $J(y)$ 于极值，由极值的必要条件，对任意的 $t\rightarrow0$, 式 5 符号都一定。由泛函变分 $\delta J$ 的定义，当 $y$ 和 $\eta$ 固定时，其是一个常数。所以式 5 满足引理 1 的条件，故 $\delta J=0$。定理得证。