高斯波包

贡献者： addis

预备知识 1　波包，高斯分布

图 1：高斯波包（式 1 ），蓝色为实部，红色为虚部，

x_{0} = 0

，

A = 1

，

a = 1 / 20

，

k_{0} = 5

。

　　¹高斯波包（Gaussian wave packet）是指轮廓为高斯分布的波包，在光学和量子力学中有重要应用。在光学中，它可以用作激光脉冲的的电场函数；在量子力学中，它常被作为波函数。

　　高斯波包用复函数表示为（ $A$ 为复数）

\begin{matrix} (1) & f (x) = A e^{- a x^{2}} e^{i k_{0} x}, \end{matrix}

由于机械波和电磁波的能量密度（光强）都正比于振幅平方，所以我们经常会讨论分布函数

f (x)^{2}

的性质。

　　 $f (x)^{2}$ 的方差为（对比式 1 ）

\begin{matrix} (2) & σ^{2} = \frac{1}{4 a} . \end{matrix}

　　 FWHMI（光强半高宽）为 $f (x)^{2}$

\begin{matrix} (3) & FWHMI = \sqrt{\frac{2 \ln 2}{a}} = 2 \sqrt{2 \ln 2} σ \approx 2.35482 σ . \end{matrix}

满足

f^{2} (FWHMI/2) = f^{2} (0) / 2

。

　　 $f (x)$ 的积分为（用于求电场矢势）

\begin{matrix} (4) & \int A e^{- a x^{2}} e^{i k_{0} x} d x = - i \frac{A}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} \exp (- \frac{k^{2}}{4 a}) erfi (\frac{k + 2 i a x}{2 \sqrt{a}}) + C . \end{matrix}

C

前面的部分在

x = \pm \infty

处分别为

\pm \frac{A}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} \exp (- \frac{k^{2}}{4 a})

。

预备知识 2　傅里叶变换（指数）

　　要求式 1 的傅里叶变换 $g (k)$ ，由例 1 以及傅里叶变换性质式 14 和式 15 得

\begin{matrix} (5) & g (k) = A \sqrt{\frac{π}{a}} \exp [- \frac{(k - k_{0})^{2}}{4 a}] . \end{matrix}

g (k)^{2}

的半高全宽 FWHMI 为

2 \sqrt{2 \ln 2} \sqrt{a} = 2.3548200 \sqrt{a}

。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。