高斯波包
贡献者： addis
图 1：高斯波包（式 1 ），蓝色为实部，红色为虚部，$x_0 = 0$，$A = 1$，$a = 1/20$，$k_0 = 5$。
1高斯波包（Gaussian wave packet）是指轮廓为高斯分布的波包，在光学和量子力学中有重要应用。在光学中，它可以用作激光脉冲的的电场函数；在量子力学中，它常被作为波函数。
高斯波包用复函数表示为（$A$ 为复数）
\begin{equation}
f(x) = A \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}~,
\end{equation}
$f(x)^2$ 的方差为（对比式 1 ）
\begin{equation}
\sigma^2= \frac{1}{4a}~.
\end{equation}
FWHMI（光强半高宽）为 $f(x)^2$
\begin{equation}
\mathrm{FWHMI} = \sqrt{\frac{2\ln 2}{a}} = 2\sqrt{2\ln 2}\ \sigma \approx 2.35482\sigma~.
\end{equation}
$f(x)$ 的积分为（用于求电场矢势）
\begin{equation} \int A \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x} \,\mathrm{d}{x} = - \mathrm{i} \frac{A}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(-\frac{k^2}{4a}\right) \operatorname{erfi} \left(\frac{k + 2 \mathrm{i} a x}{2 \sqrt{a}} \right) + C~.
\end{equation}
频谱
要求式 1 的傅里叶变换 $g(k)$，由例 1 以及傅里叶变换性质式 14 和式 15 得
\begin{equation} g(k) = A\sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left[-\frac{(k-k_0)^2}{4a}\right] ~.
\end{equation}