标准差与方差
贡献者： JierPeter; ACertainUser
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图 1：经典的正态分布示意图。三组数据的平均值虽然相同，但是他们的离散程度不同。
标准差和方差用于衡量一组数据的离散程度。
直观地，如果所有数据都是相等的，我们就认为这组数据没有一点离散；但若数据平均值不变，各数据离平均值越远，我们就认为数据离散程度越高。因此，我们可以给出衡量离散程度的式子：
定义方差时使用平方，是为了避免向不同方向离开平均值的数据相互抵消。
1. 与期望值的关系
给定一组数据 $\{x_i\}_{i=1}^n$，记它的平均值（期望值）为 $\langle x_i \rangle$，即定义 1 里的 $\mu$。有了这个符号，就可以方便地表示 $\{x_i^2\}$ 的平均值了：$\langle x_i^2 \rangle$。
根据式 1 ，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sigma^2 &= \frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}+\frac{n\mu^2}{n}-\frac{2\mu(x_1+x_2+\cdots+x_n)}{n}\\
&=\langle x_i^2 \rangle+\mu^2-2\mu\langle x_i \rangle\\
&=\langle x_i^2 \rangle-\langle x_i \rangle^2~.
\end{aligned}
\end{equation}