贡献者: addis
我们定义以下运算
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ~.
\end{equation}
为矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的
混合积,即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 先做叉乘,然后再把得到的矢量与 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 做
内积(点乘)。注意即使我们把括号去掉这个表达式也没有歧义,因为叉乘只能在矢量之间进行,而点乘的结果是标量。混合积满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ~,
\end{equation}
这个公式可由
图 1 记忆。
图中箭头的方向由叉乘的方向(顺时针或逆时针)决定,与内积无关,即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )$。如果混合积的顺序取与箭头相反的方向,根据叉乘的性质,需要在前面加上负号(叉乘不满足乘法交换律)。式 2 与式 3 互为相反数
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
注意即使将混合积省略括号记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 或者 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 也应该理解为先叉乘后内积。$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )$ 没有定义,因为矢量不能叉乘标量。
1. 几何法证明
图 2:矢量混合积的几何意义
如图 2 ,以三个矢量为棱作平行六面体。由例 1 可知 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert $ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 所在平行四边形的面积。令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $,则 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $ 为平面的法向量,平行六面体的高为 $ \left\lvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert $,所以平行六面体的体积等于底面积乘以高
\begin{equation}
V = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \left\lvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert ~.
\end{equation}
同理可得对于同一平行六面体
\begin{equation}
V = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert ~.
\end{equation}
这里只证明了
式 2 的绝对值,要证明正负号,定义 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} < 0$ 时 $V$ 为负值即可。
2. 代数法证明
不难证明三矢矢积若展开成分量的形式,等于三个矢量组成的行列式,另见 “行列式与体积”
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \begin{vmatrix}
A_x & A_y & A_z\\
B_x & B_y & B_z\\
C_x & C_y & C_z\end{vmatrix} ~,
\end{equation}
而利用行列式中任意两行置换符号改变,即可证明
式 2 。