一元函数的对称与周期性

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预备知识　函数

　　 轴对称，即当横坐标到对称轴的距离相等时，函数值也相等

\begin{matrix} (1) & f (a + x) = f (a - x) . \end{matrix}

中心对称，即当横坐标到对称轴的距离相等时，函数值互为相反数

\begin{matrix} (2) & f (a + x) = - f (a - x) . \end{matrix}

周期性，即横坐标经过一定长度后的函数值相等，

\begin{matrix} (3) & f (a + x) = f (x) . \end{matrix}

其中，

a

分别为对称轴、对称中心和周期

T

。定义最小正周期为其字面意思——周期函数最小的一个正周期，不是所有的周期函数都有最小正周期，例如常函数

f (x) = c

就不存在最小正周期。

\sin x

和

\cos x

的最小正周期都是

2 π

。

　　现在来看同时含有参数 $a$ 和参数 $b$ 的情况

\begin{matrix} (4) & 轴对称： f (a + x) = f (b - x) . \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & 中心对称： f (a + x) = - f (b - x) . \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & 周期性： f (a + x) = f (b + x) . \end{matrix}

其对称轴、对称中心、周期分别为：

x = (a + b) / 2

，

((a + b) / 2, 0)

和

T = | b - a | .

　　若 $f (x)$ 关于直线 $x = a$ 与直线 $x = b$ 对称，则 $f (x)$ 的一个周期为 $2 | b - a | .$

　　若 $f (x)$ 关于点 $(a, 0)$ 与点 $(b, 0)$ 对称，则 $f (x)$ 的一个周期为 $2 | b - a | .$

　　若 $f (x)$ 关于直线 $x = a$ 与点 $(b, 0)$ 对称，则 $f (x)$ 的一个周期为 $4 | b - a | .$