一元函数的对称与周期性
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轴对称，即当横坐标到对称轴的距离相等时，函数值也相等
\begin{equation}
f\left( {a + x} \right) = f\left( {a - x} \right)~.
\end{equation}
，即当横坐标到对称轴的距离相等时，函数值互为相反数
\begin{equation}
f\left( {a + x} \right) = - f\left( {a - x} \right)~.
\end{equation}
，即横坐标经过一定长度后的函数值相等，
\begin{equation}
f\left( {a + x} \right) = f\left( x \right)~.
\end{equation}
其中，$a$ 分别为对称轴、对称中心和周期 $T$。定义
最小正周期为其字面意思——周期函数最小的一个正周期，不是所有的周期函数都有最小正周期，例如常函数 $f(x) = c$ 就不存在最小正周期。$\sin x$ 和 $\cos x$ 的最小正周期都是 $2\pi$。
现在来看同时含有参数 $a$ 和参数 $b$ 的情况
\begin{equation}
\text{轴对称：} f\left( {a + x} \right) = f\left( {b - x} \right)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\text{中心对称：} f\left( {a + x} \right) = - f\left( {b - x} \right)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\text{周期性：} f\left( {a + x} \right) = f\left( {b + x} \right)~.
\end{equation}
其对称轴、对称中心、周期分别为：$x = (a + b)/2$，$((a + b)/2, 0)$ 和 $T = \left| {b - a} \right|~.$
若 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 与直线 $x=b$ 对称，则 $f(x)$ 的一个周期为 $2\left| {b - a} \right|~.$
若 $f(x)$ 关于点 $(a,0)$ 与点 $(b,0)$ 对称，则 $f(x)$ 的一个周期为 $2\left| {b - a} \right|~.$
若 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 与点 $(b,0)$ 对称，则 $f(x)$ 的一个周期为 $4\left| {b - a} \right|.$