商拓扑

例 1　烟卷

　　 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中取一个矩形的闭子集：$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\in [-1,1],y\in [0,1]\}$。在这个闭子集上定义一个等价关系 $\sim$ 如下：对于 $y\in [0,1]$，有 $(1,y)\sim (-1,y)$；其它点都只和自己等价。如果把 $A$ 看成一个矩形纸条，那么商集 $A/\sim$ 可以看成是这个纸条的两边对应点粘在一起，卷成一个烟卷的样子。

例 2　甜甜圈

　　 还是利用例 1 中的 $A$,这次等价关系 $\sim$ 为：对于 $x\in [-1,1],y\in [0,1]$，有 $(x,0)\sim (x,1),(1,y)\sim (-1,y)$，其它点只和自己等价。这一次，商集 $A/\sim$ 可以看成把纸条的左右两边粘合，上下两边也粘合。先粘合哪些点并没有要求，所以可以先粘合成烟卷，再粘合成甜甜圈或者说轮胎的形状。

例 3　莫比乌斯环

　　 用箭头表示法可以很轻松地表示一个莫比乌斯环（Mobius）。考虑到莫比乌斯环是把纸条的一边翻转以后再和对边粘连而成的，我们可以如图 4 画出莫比乌斯环的箭头表示法。如果只涉及一组边的粘合，我们可以在不引起混淆的情况下省去对箭头的命名。

例 4　克莱因瓶

　　 用箭头表示法来表示一个克莱因瓶（Klein's Bottle）：

　　 注意克莱因瓶的定义中，两个 $y$ 箭头的朝向相反。如果先粘连 $y$ 箭头的话，所得到的就是一个莫比乌斯环，由此可以看出莫比乌斯环和克莱因瓶的相似性。

例 5　射影平面

　　 射影平面和克莱因瓶、莫比乌斯带一样，如果一只蚂蚁在射影平面上爬行并且不离开平面也不触及边缘，它总能爬到出发点的对面。用箭头表示法来表示射影平面如下：

　　 如果在射影平面的中间挖去一个洞，那么我们就得到了莫比乌斯带。射影平面实际上是莫比乌斯带将边缘粘连起来的结果。

例 6　

　　 还是使用例 1 中的 $A$，这次把等价关系 $\sim$ 定义为：矩形的底部 $\{(x,0)|x\in [-1,1]\}$ 所有点都是等价的，其它部分只和自己等价。映射 $f:A\to A/\sim$ 把 $A$ 中的点映射到其等价类上。

　　 假设 $A$ 的底部在 $A/\sim$ 中对应的一个点叫 $P$，那么 $X/\sim$ 中任何包含 $P$ 的开集，其逆映射都是 $X$ 中包含整个底部的开集。如果记 $R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\in (-1/2,1/2),y\in [0,1]\}$，并记底部为 $B$，那么 $f^{-1}(f(R))\ne R$，而是 $f^{-1}(f(R))=R\cup B$，而这不是一个开集，所以 $f(B)$ 不是 $X/\sim$ 的开集。