积拓扑
贡献者： JierPeter; addis
1. 有限维积拓扑
给定两个拓扑空间 $(X_1, \mathcal{T}_1)$ 和 $(X_2, \mathcal{T}_2)$，那么我们可以在笛卡尔积 $X=X_1\times X_2$ 中定义一个拓扑 $\mathcal{T}$，其拓扑基为 $\{O_1\times O_2|O_1\in\mathcal{T_1}, O_2\in\mathcal{T_2}\}$。就是说，两个拓扑空间的笛卡尔积的拓扑基，是两个空间中开集的笛卡尔积的集合。
由拓扑基生成拓扑的方式（取任意并），容易发现，如果上述 $O_1$ 和 $O_2$ 取的只是 $X_1$ 和 $X_2$ 空间的某两个拓扑基，也能得到一样的定义。
一般地，$N$ 个拓扑空间的集合做笛卡尔积，这个笛卡尔积集合上的积拓扑定义为：
2. 任意维积拓扑
如果用于进行笛卡尔积的拓扑空间数量大于等于 $\aleph_0$，那么我们常用的乘积拓扑定义会和有限维情况的说法略有不同。在这里，我们使用子基（sub-basis）来定义积拓扑：
定义 2 任意维积拓扑
设 $(X_\alpha, \mathcal{T}_\alpha)$ 是若干拓扑空间，$\alpha$ 不再是整数指标，而是用一个集合 $\Lambda$ 中的元素来表达的指标：$\alpha\in\Lambda$。这样的集合 $\Lambda$ 称为一个指标集（set of indexes）。
空间 $X=\prod\limits_{\alpha\in\Lambda}X_\alpha$ 的拓扑 $\mathcal{T}$ 由子基$\mathcal{S}$ 生成，其中 $\mathcal{S}=\{O_{\alpha_0}\times\prod\limits_{\alpha\in\Lambda-\{\alpha_0\}}X_\alpha|\alpha_0\in\Lambda, O_{\alpha_0}\in\mathcal{T}_{\alpha_0}\}$。就是说，$\mathcal{S}$ 中的每一个元素，都是某个 $X_{\alpha_0}$ 的开集 $O_{\alpha_0}$ 和其它所有 $X_\alpha$ 乘积的结果。
其中，各 $X_\alpha$ 空间称作 $X$ 的一个分量（component），类比向量空间的称呼。
任意维积拓扑也可以用拓扑基定义，只不过拓扑基中的元素不再是各分量空间的开集之乘积，而是有限个分量空间的开集和其它全体分量空间本身的乘积。
任意维积拓扑的定义是包含了有限维的定义的，因为当进行乘积的空间是有限个（即 $|\Lambda|<\aleph_0$）的时候，任意维积拓扑的定义就和有限维积拓扑的定义一致了。
3. 积映射
给定集合间的映射 $f:A\rightarrow X$ 和 $g:B\rightarrow Y$，可以定义映射 $f\times g:A\times B\rightarrow X\times Y$。其中 $\forall a\in A, b\in B$，有 $f\times g(a, b)=(f(a), g(b))$。