薄透镜
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1. 单个球面的成像公式
图 1：单球面成像
如图 1 ，我们考虑两种折射率分别为 $n_1$ 和 $n_2$ 得介质被一个球面划分为左右两部分。当光线从左边入射时，经过界面反射。
傍轴条件：图中所有角度都很小1。球面近似是平面，球面上任意一点横坐标相同。
\begin{equation}
l_1 \alpha_1 = l_2 \alpha_2 = R\theta~.
\end{equation}
\begin{equation}
\alpha_1 = \theta_1 - \theta ~,\qquad
\alpha_2 = \theta - \theta_2~,
\end{equation}
\begin{equation}
n_1 \theta_1 = n_2 \theta_2~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{n_1}{l_1} + \frac{n_2}{l_2} = \frac{n_2 - n_1}{R}~,
\end{equation}
2. 薄透镜
如果一个透镜的两个面可以近似为球面，且它们之间的距离比起物距和像距来可以忽略不计，那么我们就称它为薄透镜。我们假设透镜外介质的折射率为 $n_1$，透镜内折射率为 $n_2$。我们另透镜一侧的半径为 $R_1$，物距为 $u$，像距为 $v_1$，另一侧半径为 $R_2$（另焦点在另一边为正），物距为 $u_2$，像距为 $v$。于是有
\begin{equation}
\frac{n_1}{u} + \frac{n_2}{v_1} = \frac{n_2 - n_1}{R_1}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{n_2}{u_2} + \frac{n_1}{v} = \frac{n_2 - n_1}{R_2}~.
\end{equation}
\begin{equation}
v_1 = -u_2~.
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{f} = \left(\frac{n_2}{n_1} - 1 \right) \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) ~.
\end{equation}
3. 薄透镜叠加
与上一节同理，若两个焦距分别为 $f_1$ 和 $f_2$ 的薄透镜叠加，当其间距远小于物距和像距时，合成后的透镜焦距 $f$ 满足
\begin{equation}
\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}~.
\end{equation}
推导：另第一个透镜的物距为 $u$，像距为 $v_1$，第二个透镜物距为 $u_2$，像距为 $v$，由于两透镜距离可忽略，第一个透镜的实像像距等于第二个透镜的虚物物距，所以分别可以列出
\begin{equation}
\frac{1}{u} + \frac{1}{v_1} = \frac{1}{f_1}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{u_2} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f_2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
v_1 = -u_2~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}~.
\end{equation}