贡献者： 零穹; Giacomo
1. 算子的张量积
由空间的张量积一节知道，任意两个矢量空间的张量积都存在，且仍是个矢量空间，那么在其上就可研究线性算子。
定理 1
设 $V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上的矢量空间，$\mathcal A,\mathcal B$ 分别是 $V,W$ 上的线性算子，那么在 $V\otimes W$ 上存在唯一的线性算子 $\mathcal C$，使得
\begin{equation}
\mathcal C(v\otimes w)=\mathcal A v\otimes \mathcal B w,\quad v(\in V,w\in W)~.
\end{equation}
证明：定义映射 $\varphi:V\times W\rightarrow V\otimes W$：
\begin{equation}
\varphi(v,w):=\mathcal A v\otimes \mathcal B w~\quad (v\in V,w\in W)~.
\end{equation}
显然，$\varphi$ 是个线性算子，只需利用 $\mathcal A,\mathcal B$ 是
线性算子和张量积的性质（
定理 2 ）即可。
由张量积的定义定义 1 ，存在唯一的线性算子 $\mathcal C$，使得
\begin{equation}
\mathcal C(v\otimes w)=\varphi(v,w)=\mathcal A v\otimes \mathcal B w~.
\end{equation}
证毕！
该定理给出了定义线性算子张量积的依据。
定义 1 算子的张量积
设 $\mathcal A,\mathcal B$ 分别是矢量空间 $V,W$ 上的线性算子，则
\begin{equation}
\mathcal A\otimes \mathcal B:V\otimes W\rightarrow V\otimes W~
\end{equation}
称作算子 $\mathcal A,\mathcal B$ 的
张量积，其规则为
\begin{equation}
(\mathcal A\otimes \mathcal B)(v\otimes w)=\mathcal Av\otimes \mathcal Bw~.
\end{equation}
由算子张量积的定义，容易验证线性算子的张量积具有下面的性质：
- $(\mathcal A\otimes \mathcal B)(\mathcal C\otimes \mathcal D)=\mathcal AC\otimes \mathcal BD$
- $(\mathcal A+\mathcal C)\otimes B=\mathcal A\otimes B+\mathcal C\otimes B$
- $\mathcal A\otimes(\mathcal B+\mathcal D)=\mathcal A\otimes \mathcal B+\mathcal A\otimes \mathcal D$
- $\mathcal A\otimes(\lambda\mathcal B)=(\lambda\mathcal A)\otimes \mathcal B=\lambda(\mathcal A\otimes \mathcal B)$
2. 算子张量积的矩阵
在线性算子代数文章开头说过，$\mathcal L(V,V)$ 上的线性算子与 $n$ 阶方阵一一对应（$n=\dim V$）。而 $V\otimes W$ 本身也是矢量空间，这样就可把算子的张量积 $\mathcal A\otimes \mathcal B$ 看成 $\mathcal L(V\otimes W,V\otimes W)$ 上的线性算子，那么 $\mathcal A\otimes \mathcal B$ 就对应 $nm$ 阶的方阵（$m=\dim W$）。
设 $\{e_i\},\{f_j\}$ 分别是 $V,W$ 上的一组基。记
\begin{equation}
\mathcal Ae_i=\sum_{i'}\alpha_{i'i}e_{i'}~,\quad \mathcal Bf_j=\sum_{j'}\beta_{j'j}f_{j'}~,
\end{equation}
就得到
\begin{equation}
(\mathcal A\otimes \mathcal B)(e_i\otimes f_j)=\sum_{i',j'}\alpha_{i'i}\beta_{j'j}e_{i'}\otimes f_{j'}~.
\end{equation}
这就是说，由 $A=(a_{i'i}),B=(\beta_{j'j})$，可以得到
\begin{equation}
A\otimes B=(\alpha_{i'i}\beta_{j'j})=
\begin{pmatrix}
&\alpha_{11}B&\alpha_{12}B&\cdots&\alpha_{1n}B\\
&\alpha_{21}B&\alpha_{22}B&\cdots&\alpha_{2n}B\\
&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
&\alpha_{n1}B&\alpha_{n2}B&\cdots&\alpha_{nn}B\\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
注意，上面 $A\otimes B$ 的矩阵排列方式，和通常线性算子的矩阵排列一样，这里矢量空间 $V\otimes W$ 的第 $(i-1)+j$ 个基就是 $e_i\otimes f_j$。
式 8 的理解如
表 1 （注意算子矩阵的排列表）
表1：$A\otimes B$ 的矩阵排列方式理解表
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| $e_1\otimes f_1$ | $\cdots$ | $e_1\otimes f_m$ | $\cdots$ | $e_n\otimes f_1$ | $\cdots$ | $e_n\otimes f_m$
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$e_1\otimes f_1$ | $\alpha_{11}\beta_{11}$ | $\cdots$ | $\alpha_{11}\beta_{1m}$ | $\cdots$ | $\alpha_{1n}\beta_{11}$ | $\cdots$ | $\alpha_{1n}\beta_{1m}$
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$\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$
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$e_1\otimes f_m$ | $\alpha_{11}\beta_{m1}$ | $\cdots$ | $\alpha_{11}\beta_{mm}$ | $\cdots$ | $\alpha_{1n}\beta_{m1}$ | $\cdots$ | $\alpha_{1n}\beta_{mm}$
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$\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$
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$e_n\otimes f_1$ | $\alpha_{n1}\beta_{11}$ | $\cdots$ | $\alpha_{n1}\beta_{1m}$ | $\cdots$ | $\alpha_{nn}\beta_{11}$ | $\cdots$ | $\alpha_{nn}\beta_{1m}$
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$\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$
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$e_n\otimes f_m$ | $\alpha_{n1}\beta_{11}$ | $\cdots$ | $\alpha_{n1}\beta_{mm}$ | $\cdots$ | $\alpha_{nn}\beta_{m1}$ | $\cdots$ | $\alpha_{mn}\beta_{mm}$
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对算子的基，有下面公式
\begin{equation}
\mathrm{tr}\,A\otimes B=\sum_{i}\alpha_{ii}\mathrm{tr}\,B=\mathrm{tr}\,A\cdot\mathrm{tr}\,B~,
\end{equation}
且
\begin{equation}
\begin{aligned}
\det A\otimes B&=\det((A\otimes E_m)(E_n\otimes B))\\
&=\det(A\otimes E_m)\cdot\det(e_n\otimes B)\\
&=(\det A)^m(\det B)^n~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中第一式用到了算子张量积的性质 1 和算子运算与矩阵运算的对应关系（
定理 1 ）.