向量空间的张量积

贡献者： Giacomo

本文处于草稿阶段。

预备知识　多线性映射

未完成：万有性质

定义 1　张量积

　　设 $V_{1}, V_{2}, T$ 是域 $F$ 上的向量空间， $σ : V_{1} \times V_{2} \to T$ 是个双线性映射。若对域 $F$ 上任意向量空间 $U$ ，任一双线性映射 $φ : V_{1} \times V_{2} \to U$ ，都存在唯一的线性映射 $ψ : T \to U$ 使 $φ = ψ σ$ ，即如下交换图

\begin{matrix} (1) & \begin{matrix} V_{1} \times V_{2} & \overset{σ}{\to} & T \\ ∥ & ψ ↓ \\ V_{1} \times V_{2} & \overset{φ}{\to} & U \end{matrix} \end{matrix}

那么对

(σ, T)

就称为

V_{1}

与

V_{2}

的张量积，

T

记为

V_{1} \otimes V_{2}

，

σ (v_{1}, v_{2})

记为

v_{1} \otimes v_{2}

¹。

　　我们还可以定义向量空间 $V$ 的 $k$ 次张量幂， $V^{\otimes k} := \underset{k}{\underset{⏟}{V \otimes \dots \otimes V}}$ 。

未完成：存在性

未完成：张量积的维度

未完成：张量积与对偶空间

1. ^ 在张量的张量积一文中，在有限维度的情况下，我们定义了向量间的张量积，这里是对它的推广

向量空间的张量积

定义 1 张量积

定义 1　张量积