线性算子对角化的充要条件

贡献者：零穹

预备知识　本征矢量与本征多项式

　　 $n$ 维矢量空间 $V$ 中，若有一基底，使得在该基底下，线性算子 $A$ 对应的矩阵 $A$ 取对角形式

\begin{matrix} (1) & A = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & λ_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & λ_{n} \end{matrix}), \end{matrix}

则称算子

A

是可对角化的。式 1 通常又记为

A = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

。

　　定义在域 $F$ 上的 $n$ 维矢量空间，其上的线性算子 $A$ 可对角化的充要条件为： $A$ 的本征多项式 $\det A - t E$ 的所有根都在 $F$ 上，且每个本征值 $λ$ 的几何重数等于代数重数。

1. 证明

　　先引入一个引理

　　属于不同本征值的本征向量必然线性无关，且 $\sum_{i = 1}^{n} V^{λ_{i}}$ 是直和（各 $λ_{i}$ 不相同）。

　　 证明：对每个 $V^{λ_{i}}$ 选取一个本征矢量 $e_{i}$ ，现证明它们线性无关。

　　当 $m = 1$ 时显然。对 $m$ 用数学归纳法，设存在线性关系式

\begin{matrix} (2) & \sum_{i = 1}^{m} α_{i} e_{i} = 0, \end{matrix}

对某一系数

α_{i}

不为 0，不失一般性，设

α_{1} \neq 0

。两边作用

A

：

\begin{matrix} (3) & \sum_{i = 1}^{m} α_{i} λ_{i} e_{i} = 0 . \end{matrix}

λ_{m} \times

\begin{matrix} (4) & \sum_{i = 1}^{m - 1} α_{i} (λ_{m} - λ_{i}) e_{i} = 0 . \end{matrix}

由归纳假定

α_{i} (λ_{m} - λ_{i}) = 0, (i = 1 \dots m - 1)

。这和

\begin{matrix} (5) & α_{1} \neq 0, λ_{m} \neq λ_{i}, i < m \Rightarrow α_{1} (λ_{m} - λ_{1}) \neq 0 \end{matrix}

矛盾。于是线性无关性得证！

　　由本征子空间 $V^{λ}$ 的定义（定义 2 ），任意非零矢量 $e_{i} \in V^{λ_{i}}$ 都是本征矢量。所以

\begin{matrix} (6) & V^{λ_{i}} \cap \sum_{j \neq i} V^{λ_{j}} = 0, \end{matrix}

即

\sum_{i = 1}^{n} V^{λ_{i}}

是直和。

　　 证毕！

　　 充分性：设 $λ_{i} (i = 1, \dots, m)$ 是不同本征值。由于本征多项式所有根都在 $F$ 内（意味着所有本征值代数重数之和= $n$ ），且代数重数且每一本征值代数重数和几何重数相同，所以

\begin{matrix} (7) & \sum_{i = 1}^{m} \dim V^{λ_{i}} = n = \dim V, \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (8) & V = ⨁_{i = 1}^{m} V^{λ_{i}} . \end{matrix}

直和文章部分应证明上两式等价并链接

　　于是把 $V^{λ_{i}}$ 的基底合并就得到 $V$ 的一个基底。在此基底下 $A$ 是对角化的定理 3 。

　　 必要性：设 $λ_{i} (i = 1, \dots, m)$ 是 $A$ 的不同本征值。由于 $A$ 是对角化的，所以

\begin{matrix} (9) & A = diag (\underset{\dim V^{λ_{1}}}{\underset{⏟}{λ_{1}, \dots, λ_{1}}}; \dots; \underset{\dim V^{λ_{m}}}{\underset{⏟}{λ_{m}, \dots, λ_{m}}}) . \end{matrix}

因为矢量空间在域

F

上，所以矩阵

A

的元素

λ_{i} \in F

。于是

\begin{matrix} (10) & \det (A - t E) = (λ_{1} - t)^{\dim V^{λ_{1}}} \dots (λ_{m} - t)^{\dim V^{λ_{m}}} . \end{matrix}

上式的解释即要证的结论。

　　 证毕！