有限维度下张量积的存在性

                     

贡献者: 零穹; Giacomo

预备知识 向量空间的张量积,对偶空间,张量的张量积

1. 张量积的存在性

   对于有限维度向量空间来说,对偶对偶空间同构于原空间(定理 3 ),因此我们可以用对偶空间 $V^*$ 和多线性映射空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 来定义来定义它们之间的张量积。

引理 1 

   设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上的向量空间,$V_1$ 的维数是 $n$,$e_1,\cdots,e_n$ 是 $V_1$ 的一组基。则对 $V_2$ 中任意 $k$ 个元素 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$,存在唯一的线性映射 $f: V_1 \rightarrow V_2$ 使

\begin{equation} f(e_i)=\alpha_i, i=1, \cdots, n~. \end{equation}

   证明:存在性由线性保证;要证明唯一性,若有另一满足条件的线性映射 $f_1$,那么对任意 $v=\sum\limits_{i}v^ie_i\in V_1$,有

\begin{equation} f_1(v)=\sum_{i}v^if_1(e_i)=\sum_{i}v^i\alpha_i=\sum_{i}v^if(e_i)=f(v)~, \end{equation}
即 $f_1=f$。

   证毕!

   在张量的张量积中我们已经定义过线性映射(对偶向量)的张量积了:考虑 $f \in V^*_1,g \in V^*_2$,我们有 $(f \otimes g)(v_1, v_2) = f(v_1) f(v_2)$,其中 $f \otimes g \in \mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 是双线性映射。

引理 2 

   设 $V_1,V_2$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维的向量空间,$\{\mu^i\}$,$\{\nu^i\}$ 分别是对偶空间 $V^*_1,V^*_2$ 的基,那么

\begin{equation} \{\mu^i \otimes \nu^j \mid i=1, \cdots, n,\quad j=1,\cdots,m \}~ \end{equation}
是双线性映射空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 的一组基。

   证明:先证明 式 3 之间线性无关:如果

\begin{equation} \sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j=0~, \end{equation}
其中,右边的 $0$ 是向量空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 中的零向量,那么
\begin{equation} \lambda_{kl}= \left(\sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j \right) (\mu_k,\nu_l)=0(\mu_k,\nu_l)=0~. \end{equation}
其中,最后的 $0$ 是域 $\mathbb F$ 的零元,$\{\mu_k\},\{\nu_l\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的与 $\{\mu^i\}$,$\{\nu^i\}$ 对偶的基。所以得到式 3 的线性无关性。

   又因为 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 的维数为 $nm$,由基的定义(定义 2 )可得式 3 就是它的一组基。

   证毕!

   由引理 2 ,容易证得下面的推论

推论 1 

   取 $f \in V^*_1,g \in V^*_2$,元素 $f \otimes g$ 是空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 中的一个向量,即 $V_1 \times V_2$ 上的一个双线性函数;因此定义了映射 $\sigma: V^*_1 \times V^*_2 \to \mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$。

  

未完成:这不应该单独写一个推论,应当并入引理 2

   注意:上述的引理和推论,将向量空间和其对偶空间互调仍然成立,因为彼此是对方的对偶空间(参考对偶空间),因此我们可以定义

\begin{equation} \sigma: V_1 \times V_2 \to \mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)~. \end{equation}

定理 1 

   设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维向量空间,则向量空间 $V_1,V_2$ 的张量积存在,且在同构的意义下是唯一的。

   证明:先证明定理前一部分:

   由推论 1 ,映射 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F) $:

\begin{equation} \sigma(v_1,v_2)=v_1\otimes v_2 \quad (v_1\in V_1,v_2\in V_2 )~ \end{equation}
是 $\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 中的向量。

   而由 引理 2 ,若 $\{\mu_i\},\{\nu_i\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的基,$n=\dim V_1,m=\dim V_2$。那么

\begin{equation} \sigma(\mu_i,\nu_j)=\mu_i\otimes \nu_j\qquad (i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots,m)~ \end{equation}
是 $\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 的一组基。

   现在证明,对 $(\sigma,\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积。设 $U$ 是域 $\mathbb F$ 上任一线性空间,

\begin{equation} \begin{aligned} &\varphi:V_1\times V_2\rightarrow U~,\\ &\varphi(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij}\qquad (i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m)~. \end{aligned} \end{equation}
是任一双线性映射。由引理 1 ,存在唯一的线性映射 $\psi:\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)\rightarrow U$,使
\begin{equation} \psi(\mu_i\otimes \nu_j)=\varphi_{ij}\qquad( i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m)~. \end{equation}

   式 8 带入式 10 ,得

\begin{equation} \psi\sigma(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij}=\varphi(\mu_i,\nu_j)~. \end{equation}
于是对任意 $v_1\in V_1,v_2\in V_2$,由于双线性型,显然
\begin{equation} \psi\sigma(v_1,v_2)=\varphi(v_1,v_2)~, \end{equation}
即 $\psi\sigma=\varphi$。

   由向量空间张量积的定义(定义 1 ),证得对 $(\sigma,\mathcal L(V^*_1,V^*_2,\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积。

   定义第二部分的证明:设对 $(\sigma,T),(\sigma', T')$ 是 $V_1,V_2$ 的两个张量积,于是存在唯一的线性映射 $\psi:T\rightarrow T',\psi':T'\rightarrow T$,使得

\begin{equation} \psi\sigma=\sigma',\quad\psi'\sigma'=\sigma~, \end{equation}
于是
\begin{equation} \psi'\psi\sigma=\sigma=e_T\sigma~. \end{equation}
其中,$e_T$ 是 $T$ 到 $T$ 的恒等映射。

   由于 $\psi,\psi'$ 的唯一性

\begin{equation} \psi'\psi=e_T~, \end{equation}
同理
\begin{equation} \psi\psi'=e_{T'}~. \end{equation}
首先,两个线性映射 $\psi,\psi'$ 的复合 $\psi'\psi$ 仍是线性映射,其次,式 15 ,式 16 表明 $\psi,\psi'$ 都是双射(因为上两式表明二者都有左逆和右逆,所以必为双射),即 $T,T'$ 同构(向量空间中的同构映射是线性的双射)。

   证毕!

   现在容易证明,空间张量积中的映射 $\sigma$ 是个满映射。因为由上面证明知道,$\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 是空间 $V_1,V_2$ 的张量积中的 $T$。而张量积在同构的意义下是唯一的,所以只需证明 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow \mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 是个满映射。由引理 2 ,$\{e_i\otimes e'_j\}$ 是 $\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 的一组基,其中 $\{e_i\},\{e'_j\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的一组基。所以 $\forall t\in \mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$,都可写成

\begin{equation} t=t^{ij}e_i\otimes e'_j~. \end{equation}
那么任意的 $v=v^i e_i\in V_1,v'=v'^j e'_j\in V_2$ 只要满足 $v^iv'^j=t^{ij}$ 就有
\begin{equation} v\otimes v'=t~, \end{equation}
式 7 $\sigma(v,v')=t$。故 $\sigma$ 的满射性得证!

2. 张量积的结合性

   由于维数相同的向量空间必同构,由引理 2 ,$V_1\otimes V_2$ 和 $V_2\otimes V_1$ 的维数相同,同样,$(V_1\otimes V_2)\otimes V_3$ 和 $V_1\otimes( V_2\otimes V_3)$ 维数也相同,因此它们各自同构。下面定理给出了它们的自然同构,即无关基的选取的同构。

定理 2 

   设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维向量空间。则有同构映射 $\psi_1:(U\otimes V)\otimes W\rightarrow U\otimes(V\otimes W)$ 和 $\psi_2:U\otimes V\rightarrow V\otimes U$,使得

\begin{equation} \begin{aligned} \psi_1((u\otimes v)\otimes w)&=u\otimes(v\otimes w)~,\\ \psi_2(u\otimes v)&=v\otimes u~. \end{aligned} \end{equation}

   证明:设 $\{\epsilon_i\},\{\eta_j\},\{\xi_k\}$ 分别是 $U,V,W$ 的基底,那么 $\psi_1,\psi_2$ 分别将 $(U\otimes V)\otimes W$ 和 $U\otimes V$ 的基矢

\begin{equation} (\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k~,\quad \epsilon_i\otimes\eta_j~, \end{equation}

   映到 $U\otimes (V\otimes W)$ 和 $V\otimes U$ 的基矢

\begin{equation} \epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k)~,\quad \eta_j\otimes\epsilon_i~. \end{equation}

   那么,如果证明了 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质,就能得到 $\psi_1,\psi_2$ 的同构性。因为从上面容易看出 $\psi_1,\psi_2$ 分别将两空间基底一一对应,如果它们还是线性映射,那么各空间中的向量在 $\psi_1,\psi_2$ 的作用下坐标和原来相同,这时就容易知道 $\psi_1,\psi_2$ 的双射性。

   对

\begin{equation} \begin{aligned} &\forall u=u^i\epsilon_i\in U,\quad v=v^j\eta_j\in V,\quad w=w^k\xi_k\in W~,\\ &\forall u'=u'^i\epsilon_i\in U,\quad v'=v'^j\eta_j\in V,\quad w'=w'^k\xi_k\in W~,\\ &\forall \alpha,\beta \in\mathbb F~. \end{aligned} \end{equation}
由纯量与张量积的乘法定律(定理 2 ),有
\begin{equation} \begin{aligned} &\psi_1(\alpha(u\otimes v)\otimes w+\beta(u'\otimes v')\otimes w')\\ &=\psi_1 \left( \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) (\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k \right) \\ &= \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) \epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k)\\ &=\alpha u\otimes (v\otimes w)+\beta u'\otimes (v'\otimes w')\\ &=\alpha\psi_1((u\otimes v)\otimes w)+\beta\psi_1((u'\otimes v')\otimes w')~,\\ \\ &\psi_2 \left(\alpha u\otimes v+\beta u'\otimes v' \right) =\psi_2 \left( \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \epsilon_i\otimes\eta_j \right) \\ &= \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \eta_j\otimes\epsilon_i\\ &=\alpha v\otimes u+\beta v'\otimes u'\\ &=\alpha\psi_2(u\otimes v)+\beta\psi_2(u'\otimes v')~, \end{aligned} \end{equation}
于是证得 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质。

   证毕!

   定理 2 给出了空间张量积的结合律,因此对多个空间的张量积,可以不使用括弧。

  

未完成:这里没有分清楚内直和和外直和导致了符号混乱
另外,下面定理也成立:

定理 3 

   设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维向量空间。则有同构映射

\begin{equation} \begin{aligned} &\psi_1:(U\oplus V)\otimes W\rightarrow (U\otimes W)\oplus (V\otimes W) ~,\\ &\psi_2:U\otimes(V\oplus W)\rightarrow (U\otimes V)\oplus (U\otimes W)~, \end{aligned} \end{equation}
使得
\begin{equation} \begin{aligned} &\psi_1((u+v)\otimes w)=(u\otimes w)+ (v\otimes w)~,\\ &\psi_2(u\otimes (v+ w))=(u\otimes v)+ (u\otimes w) ~. \end{aligned} \end{equation}

   证明:由张量积对加法的分配律(定理 2 ),式 25 第一式相当于

\begin{equation} \begin{aligned} \psi_1((u+v)\otimes w)&=(u+v)\otimes w~,\\ \psi_2(u\otimes(v+w))&=u\otimes(v+w)~. \end{aligned} \end{equation}
即 $\psi_1,\psi_2$ 是恒等映射,而空间 $(U\oplus V)\otimes W$ 和空间 $(U\otimes W)\oplus (V\otimes W) $ 基底(在映射 $\sigma(v,w)=v\otimes w$ 下)显然相同,所以这两空间可看成同一空间,那么恒等映射当然是同构映射。

   证毕!

                     

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