贡献者： 零穹; Giacomo; addis
预备知识 向量空间的张量积
，对偶空间
，张量的张量积
1. 张量积的存在性
对于有限维度向量空间来说，对偶对偶空间同构于原空间（定理 3 ），因此我们可以用对偶空间 $V^*$ 和多线性映射空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 来定义来定义它们之间的张量积。
引理 1
设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上的向量空间，$V_1$ 的维数是 $n$，$e_1,\cdots,e_n$ 是 $V_1$ 的一组基。则对 $V_2$ 中任意 $k$ 个元素 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$，存在唯一的线性映射 $f: V_1 \rightarrow V_2$ 使
\begin{equation}
f(e_i)=\alpha_i, i=1, \cdots, n~.
\end{equation}
证明：存在性由线性保证；要证明唯一性，若有另一满足条件的线性映射 $f_1$，那么对任意 $v=\sum\limits_{i}v^ie_i\in V_1$，有
\begin{equation}
f_1(v)=\sum_{i}v^if_1(e_i)=\sum_{i}v^i\alpha_i=\sum_{i}v^if(e_i)=f(v)~,
\end{equation}
即 $f_1=f$。
证毕！
在张量的张量积中我们已经定义过线性映射（对偶向量）的张量积了：考虑 $f \in V^*_1,g \in V^*_2$，我们有 $(f \otimes g)(v_1, v_2) = f(v_1) f(v_2)$，其中 $f \otimes g \in \mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 是双线性映射。
引理 2
设 $V_1,V_2$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维的向量空间，$\{\mu^i\}$，$\{\nu^i\}$ 分别是对偶空间 $V^*_1,V^*_2$ 的基，那么
\begin{equation}
\{\mu^i \otimes \nu^j \mid i=1, \cdots, n,\quad j=1,\cdots,m \}~
\end{equation}
是双线性映射空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 的一组基。
证明：先证明 式 3 之间线性无关：如果
\begin{equation}
\sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j=0~,
\end{equation}
其中，右边的 $0$ 是向量空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$
中的零向量，那么
\begin{equation}
\lambda_{kl}= \left(\sum_{i,j}\lambda_{ij}\mu^i\otimes\nu^j \right) (\mu_k,\nu_l)=0(\mu_k,\nu_l)=0~.
\end{equation}
其中，最后的 $0$ 是域 $\mathbb F$ 的零元，$\{\mu_k\},\{\nu_l\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的与 $\{\mu^i\}$，$\{\nu^i\}$ 对偶的基。所以得到
式 3 的线性无关性。
又因为 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 的维数为 $nm$，由基的定义（定义 4 ）可得式 3 就是它的一组基。
证毕！
由引理 2 ，容易证得下面的推论
推论 1
取 $f \in V^*_1,g \in V^*_2$，元素 $f \otimes g$ 是空间 $\mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$ 中的一个向量，即 $V_1 \times V_2$ 上的一个双线性函数；因此定义了映射 $\sigma: V^*_1 \times V^*_2 \to \mathcal L(V_1,V_2;\mathbb F)$。
注意：上述的引理和推论，将向量空间和其对偶空间互调仍然成立，因为彼此是对方的对偶空间（参考对偶空间），因此我们可以定义
\begin{equation}
\sigma: V_1 \times V_2 \to \mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)~.
\end{equation}
定理 1
设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维向量空间，则向量空间 $V_1,V_2$ 的张量积存在，且在同构的意义下是唯一的。
证明：先证明定理前一部分：
由推论 1 ，映射 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F) $：
\begin{equation}
\sigma(v_1,v_2)=v_1\otimes v_2 \quad (v_1\in V_1,v_2\in V_2 )~
\end{equation}
是 $\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 中的向量。
而由 引理 2 ，若 $\{\mu_i\},\{\nu_i\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的基，$n=\dim V_1,m=\dim V_2$。那么
\begin{equation}
\sigma(\mu_i,\nu_j)=\mu_i\otimes \nu_j\qquad (i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots,m)~
\end{equation}
是 $\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 的一组基。
现在证明，对 $(\sigma,\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积。设 $U$ 是域 $\mathbb F$ 上任一线性空间，
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\varphi:V_1\times V_2\rightarrow U~,\\
&\varphi(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij}\qquad (i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m)~.
\end{aligned}
\end{equation}
是任一双线性映射。由
引理 1 ，存在
唯一的线性映射 $\psi:\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)\rightarrow U$，使
\begin{equation}
\psi(\mu_i\otimes \nu_j)=\varphi_{ij}\qquad( i=1,\cdots,n,\quad j=1,\cdots m)~.
\end{equation}
式 8 带入式 10 ，得
\begin{equation}
\psi\sigma(\mu_i,\nu_j)=\varphi_{ij}=\varphi(\mu_i,\nu_j)~.
\end{equation}
于是对任意 $v_1\in V_1,v_2\in V_2$，由于双线性型，显然
\begin{equation}
\psi\sigma(v_1,v_2)=\varphi(v_1,v_2)~,
\end{equation}
即 $\psi\sigma=\varphi$。
由向量空间张量积的定义（定义 1 ），证得对 $(\sigma,\mathcal L(V^*_1,V^*_2,\mathbb F))$ 就是 $V_1,V_2$ 的张量积。
定义第二部分的证明：设对 $(\sigma,T),(\sigma', T')$ 是 $V_1,V_2$ 的两个张量积，于是存在唯一的线性映射 $\psi:T\rightarrow T',\psi':T'\rightarrow T$，使得
\begin{equation}
\psi\sigma=\sigma',\quad\psi'\sigma'=\sigma~,
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\psi'\psi\sigma=\sigma=e_T\sigma~.
\end{equation}
其中，$e_T$ 是 $T$ 到 $T$ 的恒等映射。
由于 $\psi,\psi'$ 的唯一性
\begin{equation}
\psi'\psi=e_T~,
\end{equation}
同理
\begin{equation}
\psi\psi'=e_{T'}~.
\end{equation}
首先，两个线性映射 $\psi,\psi'$ 的复合 $\psi'\psi$ 仍是线性映射，其次，
式 15 ,
式 16 表明 $\psi,\psi'$ 都是双射（因为上两式表明二者都有左逆和右逆，所以必为双射），即 $T,T'$ 同构（向量空间中的同构映射是线性的双射）。
证毕！
现在容易证明，空间张量积中的映射 $\sigma$ 是个满映射。因为由上面证明知道，$\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 是空间 $V_1,V_2$ 的张量积中的 $T$。而张量积在同构的意义下是唯一的，所以只需证明 $\sigma:V_1\times V_2\rightarrow \mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 是个满映射。由引理 2 ，$\{e_i\otimes e'_j\}$ 是 $\mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$ 的一组基，其中 $\{e_i\},\{e'_j\}$ 分别是 $V_1,V_2$ 的一组基。所以 $\forall t\in \mathcal L(V^*_1,V^*_2;\mathbb F)$，都可写成
\begin{equation}
t=t^{ij}e_i\otimes e'_j~.
\end{equation}
那么任意的 $v=v^i e_i\in V_1,v'=v'^j e'_j\in V_2$ 只要满足 $v^iv'^j=t^{ij}$ 就有
\begin{equation}
v\otimes v'=t~,
\end{equation}
由
式 7 $\sigma(v,v')=t$。故 $\sigma$ 的满射性得证！
2. 张量积的结合性
由于维数相同的向量空间必同构，由引理 2 ，$V_1\otimes V_2$ 和 $V_2\otimes V_1$ 的维数相同，同样，$(V_1\otimes V_2)\otimes V_3$ 和 $V_1\otimes( V_2\otimes V_3)$ 维数也相同，因此它们各自同构。下面定理给出了它们的自然同构，即无关基的选取的同构。
定理 2
设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维向量空间。则有同构映射 $\psi_1:(U\otimes V)\otimes W\rightarrow U\otimes(V\otimes W)$ 和 $\psi_2:U\otimes V\rightarrow V\otimes U$，使得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi_1((u\otimes v)\otimes w)&=u\otimes(v\otimes w)~,\\
\psi_2(u\otimes v)&=v\otimes u~.
\end{aligned}
\end{equation}
证明：设 $\{\epsilon_i\},\{\eta_j\},\{\xi_k\}$ 分别是 $U,V,W$ 的基底，那么 $\psi_1,\psi_2$ 分别将 $(U\otimes V)\otimes W$ 和 $U\otimes V$ 的基矢
\begin{equation}
(\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k~,\quad \epsilon_i\otimes\eta_j~,
\end{equation}
映到 $U\otimes (V\otimes W)$ 和 $V\otimes U$ 的基矢
\begin{equation}
\epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k)~,\quad \eta_j\otimes\epsilon_i~.
\end{equation}
那么，如果证明了 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质，就能得到 $\psi_1,\psi_2$ 的同构性。因为从上面容易看出 $\psi_1,\psi_2$ 分别将两空间基底一一对应，如果它们还是线性映射，那么各空间中的向量在 $\psi_1,\psi_2$ 的作用下坐标和原来相同，这时就容易知道 $\psi_1,\psi_2$ 的双射性。
对
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\forall u=u^i\epsilon_i\in U,\quad v=v^j\eta_j\in V,\quad w=w^k\xi_k\in W~,\\
&\forall u'=u'^i\epsilon_i\in U,\quad v'=v'^j\eta_j\in V,\quad w'=w'^k\xi_k\in W~,\\
&\forall \alpha,\beta \in\mathbb F~.
\end{aligned}
\end{equation}
由纯量与张量积的乘法定律（
定理 2 ），有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_1(\alpha(u\otimes v)\otimes w+\beta(u'\otimes v')\otimes w')\\
&=\psi_1 \left( \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) (\epsilon_i\otimes\eta_j)\otimes\xi_k \right) \\
&= \left(\alpha u^iv^jw^k+\beta u'^iv'^jw'^k \right) \epsilon_i\otimes(\eta_j\otimes\xi_k)\\
&=\alpha u\otimes (v\otimes w)+\beta u'\otimes (v'\otimes w')\\
&=\alpha\psi_1((u\otimes v)\otimes w)+\beta\psi_1((u'\otimes v')\otimes w')~,\\
\\
&\psi_2 \left(\alpha u\otimes v+\beta u'\otimes v' \right) =\psi_2 \left( \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \epsilon_i\otimes\eta_j \right) \\
&= \left(\alpha u^iv^j+\beta u'^iv'^j \right) \eta_j\otimes\epsilon_i\\
&=\alpha v\otimes u+\beta v'\otimes u'\\
&=\alpha\psi_2(u\otimes v)+\beta\psi_2(u'\otimes v')~,
\end{aligned}
\end{equation}
于是证得 $\psi_1,\psi_2$ 的线性性质。
证毕！
定理 2 给出了空间张量积的结合律，因此对多个空间的张量积，可以不使用括弧。
未完成：这里没有分清楚内直和和外直和导致了符号混乱
另外，下面定理也成立：
定理 3
设 $U,V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上有限维向量空间。则有同构映射
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_1:(U\oplus V)\otimes W\rightarrow (U\otimes W)\oplus (V\otimes W) ~,\\
&\psi_2:U\otimes(V\oplus W)\rightarrow (U\otimes V)\oplus (U\otimes W)~,
\end{aligned}
\end{equation}
使得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_1((u+v)\otimes w)=(u\otimes w)+ (v\otimes w)~,\\
&\psi_2(u\otimes (v+ w))=(u\otimes v)+ (u\otimes w) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
证明：由张量积对加法的分配律（定理 2 ），式 25 第一式相当于
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi_1((u+v)\otimes w)&=(u+v)\otimes w~,\\
\psi_2(u\otimes(v+w))&=u\otimes(v+w)~.
\end{aligned}
\end{equation}
即 $\psi_1,\psi_2$ 是恒等映射，而空间 $(U\oplus V)\otimes W$ 和空间 $(U\otimes W)\oplus (V\otimes W) $ 基底（在映射 $\sigma(v,w)=v\otimes w$ 下）显然相同，所以这两空间可看成同一空间，那么恒等映射当然是同构映射。
证毕！