驻波

贡献者： ACertainUser; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　平面简谐波

1. 一维驻波

　　想象一根紧绷的弦的两端固定，那么弦上显然不可能出现稳定的简谐波，因为简谐波要求两个端点也必须随做简谐运动¹。满足这种约束的波是驻波。

驻波、波节与波腹

图 1：驻波、波节与波腹

　　形如

\begin{equation} f(x,t)=A \sin\left(\omega t\right) \sin\left(kx\right) ~ \end{equation}

的波可以理解为单一频率的驻波。

　　如图 1 所示，单一频率的驻波的最大特点是 “只在原地振动”。

　　根据式 1 ，如果我们把 $ \sin\left(kx\right) $ 一项视为振幅的一部分，那么我们会发现振幅大小与位置有关，即 $A(x) = A \sin\left(kx\right) $. 也就是说，当$$ \sin\left(kx\right) =0, kx=n\pi \qquad (n=1,2,3,...)~$$时，振幅始终为零，此处的质元从不运动，称为波节（图中黑色点）；当$$ \sin\left(kx\right) =\pm1~,\quad kx=\frac{\pi}{2} (2n-1)~$$时，振幅达到最大值 $A$，称为波腹（图中红色点）。

单一驻波的频率、波长

图 2：弦边界约束了可能的驻波

　　由于驻波被弦边界所约束（弦的边界是被定死的，在边界上弦始终不能产生位移、振动），因此驻波的频率、波长只能取一系列特定的、离散的值。（而在简谐波中，如果没有其他约束，则频率、波长可以任意取值）

　　具体的求解需要运用烦闷复杂的数学物理方法（分离变量法解偏微分方程）的相应知识，此处仅做简单介绍。

　　假定弦长为 $L$，驻波方程式 1 须满足弦的边界条件 $$ \begin{aligned} f(0,t)&=0~,\\ f(L,t)&=0~.\\ \end{aligned} $$

　　很明显，第一个条件自动满足；而由第二个条件得到 $$ f(L,t)=A \sin\left(\omega t\right) \sin\left(kL\right) =0~. $$ 为使该式始终为零，必须有 $ \sin\left(kL\right) $ 始终为零，即 $$kL = n\pi \qquad (n=1,2,3...)~,$$ 即

\begin{equation} k=\frac{n\pi}{L}~. \end{equation}

由此，单一驻波的 $k$ 只能取特定的离散值。因此驻波的频率、波长等也必须是离散的。

\begin{equation} \begin{aligned} \lambda &=\frac{2L}{n}~,\\ T &=\frac{2L}{nv}~,\\ f &=\frac{nv}{2L}~.\\ \end{aligned} \end{equation}

驻波的叠加

　　与其他波动一样，驻波也满足叠加原理。因此，驻波的一般形式可以理解为一组各种频率的驻波的叠加。可以参考图 1 $$f=\sum f_i~.$$

驻波与简谐波

　　单一频率的驻波可以理解为两列振幅、频率、波长都相同而方向相反的简谐波的叠加。 $$ \begin{aligned} f_1(x,t)&= \sin\left(kx+\omega t\right) ~,\\ f_2(x,t)&= \sin\left(kx-\omega t\right) ~.\\ \end{aligned} $$ 因此 $$f=f_1+f_2= \sin\left(kx+\omega t\right) + \sin\left(kx-\omega t\right) ~.$$ 根据和差化积公式，

\begin{equation} f(x,t)=-2 \sin\left(\omega t\right) \sin\left(kx\right) ~. \end{equation}

未完成：介绍：波节、波腹、驻波的波动方程；如何计算一根线所支持的振动频率、谐波是什么。大学物理程度即可，不要讲太深

1. ^ “两端固定” 这个条件在解波动方程的语境下被称为边界条件，所以前面讨论的简谐波作为波动方程的解，不满足所要求的边界条件