一维波动方程

贡献者： addis

预备知识 1　导数与差分，平面波，偏导数

1. 横波

　　我们假设有一根无限长的弦，质量线密度为 $λ$ ，弦的张力（即拉力）为 $T$ ，弦静止时与 $x$ 轴重合。假设 $t$ 时刻的波函数（即弦的形状）为 $y (x, t)$ ，且弦的振幅较小，下面我们来求波函数所满足的微分方程，称为一维波动方程。

图 1：“微元法” 分析弦的波动

　　我们用 “微元法” 的思想，把弦划分为许多小线段，每段长度为 $h$ ，质量为 $m_{i} = λ h$ ，且质量都集中在左端的端点 $x_{i}$ 处。下面我们来考察质点 $m_{i}$ 的受力情况（图 1 ）。令 $m_{i + 1}$ 对 $m_{i}$ 的拉力方向与 $x$ 轴夹角为 $θ$ ，由于弦的波动较小，可以认为 $θ$ 很小，这样来自 $m_{i + 1}$ 的拉力的两个分量为

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} F_{x} & = T \cos θ \approx T, \\ F_{y} & = T \sin θ \approx T \tan θ = T \frac{y (x_{i} + h) - y (x_{i})}{h} . \end{aligned} \end{matrix}

同理，来自

m_{i - 1}

的拉力的两个分量为

\begin{matrix} (2) & {\begin{aligned} F_{x}^{'} & \approx - T, \\ F_{y}^{'} & \approx T \frac{y (x_{i} - h) - y (x_{i})}{h} . \end{aligned} \end{matrix}

把式 1 和式 2 相加，得

m_{i}

受

x

方向的合力为零，

y

方向的合力为

\begin{matrix} (3) & F_{y} = T \frac{y (x_{i} + h) - 2 y (x_{i}) + y (x_{i} - h)}{h} . \end{matrix}

结合牛顿定律，并代入

m_{i} = λ h

，有

\begin{matrix} (4) & λ \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = T \frac{y (x_{i} + h) - 2 y (x_{i}) + y (x_{i} - h)}{h^{2}} . \end{matrix}

注意到

h

很小，由式 5 可得等式右边为

T \partial^{2} y / \partial x^{2}

。于是我们得到波动方程为

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = 0 . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (6) & v = \sqrt{\frac{T}{λ}}, \end{matrix}

我们稍后会看到

v

就是波的速度¹。

　　由于这个方程中未知函数 $y (x, t)$ 是一个多元函数，且出现了偏微分，我们把它叫做偏微分方程。

2. 纵波

图 2：一个常见的纵波模型

　　以上弦模型中的波动显然是一个横波，我们也可以建立一个纵波的模型。如图 2 ，我们假设一条无限长的弹簧上的质量都集中于等间距的 $x_{i}$ ，间距为 $h$ 。若弹簧的平均线密度为 $λ$ ，则每个质点的质量为 $m_{i} = λ h$ 。为了描述弹簧的弹性，我们令单位长度弹簧的弹性系数为 $k$ ，则长为 $h$ 的一小段弹簧弹性系数为 $k / h$ 。若用 $ξ_{i}$ 来描述 $m_{i}$ 在 $x$ 方向的位移，我们可以列出 $m_{i}$ 的运动方程为

\begin{matrix} (7) & λ h \frac{\partial^{2} ξ}{\partial t^{2}} = F_{i} = \frac{k}{h} [ξ (x_{i} + h) - 2 ξ (x_{i}) + ξ (x_{i} - h)] . \end{matrix}

同样利用式 5 得波动方程为

\begin{matrix} (8) & \frac{\partial^{2} ξ}{\partial x^{2}} - \frac{λ}{k} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial t^{2}} = 0 . \end{matrix}

3. 方程的解

预备知识 2　偏微分算符

算符分解法

　　我们可以先把式 5 记为算符的形式，即

\begin{matrix} (9) & (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) y (x, t) = 0, \end{matrix}

也可以记为

\begin{matrix} (10) & (\frac{\partial}{\partial x} + \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) (\frac{\partial}{\partial x} - \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) y (x, t) = 0, \end{matrix}

注意两个括号的顺序可以互换。所以我们可以先寻找一阶偏微分方程

\begin{matrix} (11) & (\frac{\partial}{\partial x} \pm \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) y (x, t) = 0 \end{matrix}

的解得通解为

\begin{matrix} (12) & y (x, t) = c_{1} f_{1} (x - c t) + c_{2} f_{2} (x + c t), \end{matrix}

其中

f_{i} (x)

是任意函数。这个通解的物理意义很明确。即一个向右平移的波和一个向左平移的波，速度大小均为

v

。

傅里叶变换法

未完成：通解可以写成平面波的叠加（积分）。

1. ^ 有些教材也会把式 5 乘以 $- 1$ 或者乘以 $c^{2}$ ，导致读者分不清系数到底是 $1 / c^{2}$ 还是 $c^{2}$ 。一个简单的办法是看量纲， $\partial / \partial x$ 的量纲是长度分之一， $\partial / \partial t$ 是时间分之一，而 $v$ 的量纲是速度（长度除以时间）。