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夹逼定理（Squeeze Theorem，或称夹挤定理）
本文会先讨论一下一般使用夹逼定理时会遇到的问题。最后会针对两个情况下的夹逼定理给出证明。
定理 1 数列极限的夹逼定理
若数列 $\{a_n\}$,$\{b_n\}$ 以及 $\{x_n\}$ 满足
- $\exists N_0\in \mathbb{N}$，$\forall n>N_0$，$a_n\leq x_n\leq b_n$，
- $n$ 趋于无穷时，$\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的极限存在且相等，即 $\lim_{n\to\infty}\{a_n\}=\lim_{n\to\infty}\{b_n\}=m$；
则 $n$ 趋于无穷时，数列 $\{x_n\}$ 的极限存在且
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}x_n =m.~
\end{equation}
定理 2 函数极限的夹逼定理
若函数 $f(x)$、$g(x)$ 以及 $h(x)$ 满足
- 存在确定的 $\delta>0$，使得对任意符合 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，都有 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，
- $x$ 趋于 $x_0$ 时，$h(x)$ 和 $g(x)$ 的极限存在且相等，即 $\lim _{x\to x_0}h(x)=\lim _{x\to x_0}g(x)=a$；
则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限存在且
\begin{equation}
\lim _{x\to x_0}f(x)=a~.
\end{equation}
1. 小试牛刀——一个重要极限
之前在学习重要极限（参见例 1 ）时，只是形象地将这个概念给出，事实上，它可以由夹逼定理得到。
例 1 证明：$\lim_{x\to0}{ \sin\left(x\right) \over x}=1$
构造函数 $g(x)= \cos\left(x\right) $，$f(x)={ \sin\left(x\right) \over x}$，$h(x)=1$，
2. 夹逼定理的奇技淫巧
在面对不太容易通过极限运算得到结果的极限时，尤其是涉及到复合、求和等场景或存在比较显然的不等关系时，记得使用夹逼定理，可以收获奇效。事实上，在使用夹逼定理时，其实是把复杂的对极限的运算转移到了构造不等式上来。而且，就像乱拳打死老师傅，由于不需要考虑中间的极限是否存在，也能够避免一些需要讨论存在性的场景，避免出错（说的就是你，洛必达法则）。
当然，这里对于不等式的构造会有一定的要求，所以下面会提供一些常用的不等关系，一起服用，效果极佳。
- $\sin x < x < \tan x, \quad x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
- $\sin x \leq x, \quad x \in (0, +\infty)$
- $\arctan x \leq x \leq \arcsin x, \quad x \in [0, 1] $
- $x + 1\leq e^x$
- $\ln x\leq x - 1 , \quad x \in (0, +\infty)$
- $\frac{1}{1 + x} \leq \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x}, \quad x \in (0, +\infty)$
- $\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} \leq \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}}, \quad (x, y > 0)$
另外，在处理求和的极限时，将与 n 相关的分子或分母进行放大或缩小，使其能够消去或易于计算，也是一个好方法。
例 3 $\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n{i\over n^2+n+i}$
未完成：求和的例题
例 4 设 a 是一个正整数，$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+a^n}$
a
例 5 设 a 是一个正整数，$\lim_{n\to\infty}{a^n\over n!}$
0
例 6 $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{n\over n^2+i\pi}$
1
例 7 $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{1\over\sqrt{n^2+i}}$
1
例 8 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^3+2^3+\cdots+n^3}$
1
3. 数列极限的夹逼定理证明
先回顾一下定理 1 内容，下面给出证明：
已知 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = m$，由极限定义可知，对于给定的 $\varepsilon > 0$，存在一个正整数 $N_1$，使得当 $n > N_1$ 时，$|a_n - m| < \varepsilon$。同理，存在一个正整数 $N_2$，使得当 $n > N_2$ 时，$|b_n - m| < \varepsilon$。取 $N_m = \max(N_1, N_2)$。当 $n > N_m$ 时，以上两不等式同时成立，即：
\begin{equation}
- \varepsilon < a_n-m <\varepsilon.~
\end{equation}
\begin{equation}
-\varepsilon < b_n-m <\varepsilon.~
\end{equation}
又已知 $\exists N_0\in \mathbb{N}$，$\forall n>N_0$，$a_n\leq x_n\leq b_n$，因此，取 $N=\max(N_0, N_m)$，当 $n > N$ 时，三个不等式均成立，有：
\begin{equation}
- \varepsilon < a_n-m \leq x_n-m \leq b_n-m <\varepsilon\implies |x_n-m|<\varepsilon.~
\end{equation}
根据极限的定义，可知极限存在且为 $m$，即 $\lim_{n \to \infty} x_n = m$。
证毕。
4. 函数极限的夹逼定理证明
先回顾一下定理 2 的内容，下面会先证明一个引理，然后再给出证明。
引理 1 不等式一端为 0 时的极限
若函数 $f(x)$、$h(x)$ 满足：
- 存在确定的 $\delta>0$，使得对任意符合 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，都有 $0\leq f(x)\leq h(x)$；
- $\lim _{x\to x_0}h(x)=0$。
则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限存在且
\begin{equation}
\lim _{x\to x_0}f(x)=0~.
\end{equation}
证明：
由函数极限定义，取某个 $\varepsilon>0$，满足 $\delta>\delta_1>0$，$0<|x-x_0|<\delta_1\implies|h(x)|<\varepsilon$。
由于 $0\leq f(x)\leq h(x)$，所以对 $0<|x-x_0|<\delta_1$，有 $|f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon$，即 $|f(x)|<\varepsilon$。根据极限定义可知：$\lim _{x\to x_0}f(x)=0$。
证明：
由存在确定的 $\delta>0$，使得对任意符合 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，都有 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，变形可得 $0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)$。目标是使用引理 1 来求取 $\lim _{x\to x_0}(f(x)-g(x))$，因此，下面求 $\lim _{x\to x_0}(h(x)-g(x))$。
$$
\begin{align*}
\lim _{x\to x_0}(h(x)-g(x))&\overset{\mathrm{1}}{=}\lim _{x\to x_0}h(x)-\lim _{x\to x_0}g(x)\\
&=a-a\\
&=0~.
\end{align*}
$$
因此，由引理 1 可知 $\lim _{x\to x_0}(f(x)-g(x))=0$。现在已经求得了 $\lim _{x\to x_0}(f(x)-g(x))$，又已知 $\lim _{x\to x_0}g(x)$，剩下的就是：
$$
\begin{align*}
\lim _{x\to x_0}f(x) &= \lim _{x\to x_0}[(f(x)-g(x))+g(x)] \\
&\overset{\mathrm{1}}{=} \lim _{x\to x_0}(f(x)-g(x))+\lim _{x\to x_0}g(x)\\
&= 0+a\\
&=a~.\end{align*}
$$
上面的推导过程中，所有等号 1 的地方都使用了极限运算法则的定理 1 。
证毕。