贡献者： addis
本文使用原子单位制。在量子力学中，我们一般把角动量算符放在球坐标中表示。把轨道角动量算符在直角坐标系中的定义（式 2 ）通过链式法则用球坐标表示（留作习题）。
\begin{equation}
L_x = \mathrm{i} \left(\sin\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \cot\theta\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
L_y = \mathrm{i} \left(-\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
L_z = - \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{\phi}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = -\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) - \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} ~.
\end{equation}
注意 $L^2$ 恰好是球坐标系中拉普拉斯算符的角向部分（
式 6 ）$ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 取负。
\begin{equation}
L^2 = - \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega~.
\end{equation}
这并不奇怪，经典力学中球坐的哈密顿量可以记为（
式 9 ）
\begin{equation}
H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} + V~,
\end{equation}
其中 $p_r = m\dot r$，$L = mr^2\dot\theta$。而量子力学的哈密顿算符在球坐标中可以用
式 6 分解为
\begin{equation}
H = -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + V = \frac{- \boldsymbol{\nabla}^2 _r}{2m} +\frac{- \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega}{2mr^2} + V~,
\end{equation}
这让我们很容易猜出 $p_r^2 = - \boldsymbol{\nabla}^2 _r$ 和
式 5 。
类比动量算符 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla $，我们可以定义 $ \boldsymbol\nabla _\Omega$ 满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla _\Omega~,
\end{equation}
于是 $L^2$ 算符可以看作是两个矢量算符 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 算符相乘而得。
1. 角动量算符的本征函数
我们已经知道 $L^2, L_z$ 对易且具有共同本征矢 $ \left\lvert l, m \right\rangle $，现在我们在球坐标中求解它的波函数。来看本征方程
\begin{equation}
L_z \left\lvert l, m \right\rangle = m \left\lvert l, m \right\rangle ~,
\end{equation}
\begin{equation}
L^2 \left\lvert l, m \right\rangle = l(l+1) \left\lvert l, m \right\rangle ~,
\end{equation}
它的解就是球谐函数 $Y_{l,m}(\theta,\phi)$。但本征波函数应该是三维的，所以任意波函数 $R(r)Y_{l,m}(\theta, \phi)$ 都是 $L^2$ 和 $L_z$ 的共同本征波函数。