球坐标系中的轨道角动量算符

贡献者： addis

预备知识 1　角动量（量子）

　　本文使用原子单位制。在量子力学中，我们一般把角动量算符放在球坐标中表示。把轨道角动量算符在直角坐标系中的定义（式 2 ）通过链式法则用球坐标表示（留作习题）。

\begin{matrix} (1) & L_{x} = i (\sin ϕ \frac{\partial}{\partial θ} + \cot θ \cos ϕ \frac{\partial}{\partial ϕ}), \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & L_{y} = i (- \cos ϕ \frac{\partial}{\partial θ} + \cot θ \sin ϕ \frac{\partial}{\partial ϕ}), \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & L_{z} = - i \frac{\partial}{\partial ϕ}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & L^{2} = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} + L_{z}^{2} = - \frac{1}{\sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial u}{\partial θ}) - \frac{1}{\sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} u}{\partial ϕ^{2}} . \end{matrix}

注意

L^{2}

恰好是球坐标系中拉普拉斯算符的角向部分（式 6 ）

\nabla_{Ω}^{2}

取负。

\begin{matrix} (5) & L^{2} = - \nabla_{Ω}^{2} . \end{matrix}

这并不奇怪，经典力学中球坐的哈密顿量可以记为（式 9 ）

\begin{matrix} (6) & H = \frac{p_{r}^{2}}{2 m} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + V, \end{matrix}

其中

p_{r} = m \dot{r}

，

L = m r^{2} \dot{θ}

。而量子力学的哈密顿算符在球坐标中可以用式 6 分解为

\begin{matrix} (7) & H = - \frac{1}{2 m} \nabla^{2} + V = \frac{- \nabla_{r}^{2}}{2 m} + \frac{- \nabla_{Ω}^{2}}{2 m r^{2}} + V, \end{matrix}

这让我们很容易猜出

p_{r}^{2} = - \nabla_{r}^{2}

和式 5 。

　　类比动量算符 $p = - i \nabla$ ，我们可以定义 $\nabla_{Ω}$ 满足

\begin{matrix} (8) & L = - i \nabla_{Ω}, \end{matrix}

于是

L^{2}

算符可以看作是两个矢量算符

L

算符相乘而得。

1. 角动量算符的本征函数

预备知识 2　球谐函数

　　我们已经知道 $L^{2}, L_{z}$ 对易且具有共同本征矢 $| l, m ⟩$ ，现在我们在球坐标中求解它的波函数。来看本征方程

\begin{matrix} (9) & L_{z} | l, m ⟩ = m | l, m ⟩, \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & L^{2} | l, m ⟩ = l (l + 1) | l, m ⟩, \end{matrix}

它的解就是球谐函数

Y_{l, m} (θ, ϕ)

。但本征波函数应该是三维的，所以任意波函数

R (r) Y_{l, m} (θ, ϕ)

都是

L^{2}

和

L_{z}

的共同本征波函数。