轨道角动量升降算符归一化

贡献者： addis

预备知识　轨道角动量

　　首先要提醒，一般来说，算符满足的一个条件是 $⟨ g | \hat{Q} f ⟩ = ⟨ {\hat{Q}}^{*} g | f ⟩$ 。但是对于厄米算符， ${\hat{Q}}^{*} = \hat{Q}$ ，所以有 $⟨ g | \hat{Q} f ⟩ = ⟨ \hat{Q} g | f ⟩$ 。

　　对于角动量升算符

\begin{matrix} (1) & L_{+} L_{-} = (L_{x} + i L_{y}) (L_{x} - i L_{y}) = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} - i [L_{x}, L_{y}] = L^{2} - L_{z}^{2} + ℏ L_{z} . \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} L_{+} L_{-} ψ_{l, m} & = ℏ^{2} l (l + 1) ψ_{l, m} - ℏ^{2} m^{2} ψ_{l, m} + m ℏ^{2} ψ_{l, m} \\ = ℏ^{2} [l (l + 1) - m (m - 1)] ψ_{l, m}, \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (3) & ⟨ L_{-} ψ_{l, m} | L_{-} ψ_{l, m} ⟩ = ⟨ ψ_{l, m} | L_{+} L_{-} ψ_{l, m} ⟩ = ℏ^{2} [l (l + 1) - m (m - 1)], \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (4) & L_{-} ψ_{l, m} = ℏ \sqrt{l (l + 1) - m (m - 1)} ψ_{l, m - 1}, \end{matrix}

同理可证

\begin{matrix} (5) & L_{+} ψ_{l, m} = ℏ \sqrt{l (l + 1) - m (m + 1)} ψ_{l, m + 1} . \end{matrix}

严格来说，归一化系数后面加上任意相位因子

e^{i θ}

后仍能满足式 3 ，但一般省略。