贡献者： JierPeter
1. 复形上的链
定义 1 可定向单形
一个单形 $[a_0, a_1, \cdots, a_n]$，根据下标是奇排列还是偶排列，可以分为两类。称这样划分出来的两个等价类，是单形的有向单形（oriented simplex）。
偶排列的有向单形记为 $a_0a_1a_2a_3\cdots a_n=a_1a_2a_0a_3\cdots a_n=\cdots$，奇排列的有向单形为 $a_1a_0a_2a_3\cdots a_n=a_0a_2a_1a_3\cdots a_n=\cdots$。也就是说，有向单形的表示就是去掉单形表示的中括号。
定义 2 链群
有向单形作为字母，可以构造自由生成阿贝尔群。其中同一个单形的两个有向单形，互为彼此的逆元。
称这样的自由生成阿贝尔群为一个链群（chain group），它的元素被称为链（chain）。
链群的运算用加法表示，于是也可以使用 $\sum$ 符号。$n$ 个相同的有向单形 $s^q$ 相加，记为 $ns^q$。
链群的名称很直观。考虑 $1$-单形 $[a_0, a_1]$ 的有向单形 $a_0a_1$ 和 $a_1a_0$，前者可以视为从点 $a_0$ 到点 $a_1$ 的一个箭头，后者可以视为点 $a_1$ 到点 $a_0$ 的一个箭头，而 $[a_0, a_1]$ 就视为两点之间的线段，没有方向区分。这样一来，一维有向单形的链就是箭头的组合，其中首尾相连的部分就像链条一样，所以被称为链。也就是说，链群的群运算，就是链之间的 “连接” 运算，自然是交换的，因此链群被定义为有向单形的自由生成阿贝尔群。
$2$-单形虽然乍一看不像箭头，但是考虑到箭头的特点只不过是有方向性，而我们定义有向单形的方式也确实区分开了两个方向，所以依然可以把此概念推广。更高阶的单形也是一样的。
定义 3 复形上的链群
给复形 $K$ 的每一个单形都指定一个定向为正定向，则全体正定向的有向单形被称为 $K$ 的有向单形基本组。另一定向的有向单形们，被表示为对应正定向单形的相反数，也就是前面加一个负号。
$K$ 的全体 $q$ 维有向单形的链群，称为 $K$ 的 $q$ 维链群，记为 $C_q(K)$，其元素被称为 $K$ 的 $q$ 维链，简称 $q$-链。
以一维单形为例，如果 $a_0a_1$ 被指定为正向单形，那么我们从此都把 $a_1a_0$ 表示为 $-a_0a_1$，方便计算和讨论。
根据定义，复形上的每一条 $q$-链，都可以表示为 $\sum n_is^q_i$ 的形式，其中 $s^q_i$ 是一个 $q$ 维有向单形，$n_i$ 是整数。
2. 边缘链和闭链
定义 4 有向单形的顺向面和逆向面
给定有向单形 $s^q=a_0a_1a_2a_3\cdots a_q$，用 $\hat{a_i}$ 表示缺失了$a_i$，即 $a_0\hat{a_1}a_2\cdots a_q=a_0a_2\cdots a_q$。
那么称 $t^{q-1}=(-1)^ia_0a_1\cdots\hat{a_i}\cdots a_q$ 为 $s^q$ 的顺向面；相应地，$-t^{q-1}$ 为逆向面。
我们举一个例子：考虑有向单形 $a_0a_1a_2$，如图 1 所示，我们可以把它看成一个 “顺时针方向的三角形”。它的面都是箭头，其中 $a_0a_1$，$a_1a_2$ 和 $a_2a_0$ 是顺向面，$a_0a_2$，$a_2a_1$ 和 $a_1a_0$ 是逆向面。
图 1：顺向面和逆向面的示意图。
有了顺向面和逆向面的概念之后，我们就可以比较方便地引入一个重要的映射，边缘算子。
定义 5 边缘算子
考虑复形 $K$ 上的 $q$ 维和 $q-1$ 维链。
单个有向单形 $s^q$ 的所有顺向面之和，称为 $s^q$ 的边缘（border），记为 $\partial_q S^q$。
链 $\sum n_is^q_i$ 的边缘，定义为 $\partial_q \sum n_is^q_i=\sum n_i\partial_qs^q_i$。
这样一来，$\partial_q$ 即为 $C_q(K)\to C_{q-1}(K)$ 的一个群同态。
边缘算子的一个核心性质由下面的引理 1 给出。这一点和外导数定义中的幂零性进行比较。
引理 1
任意复形 $K$ 上，$\partial_q\circ\partial_{q+1}:C_{q+1}(K)\to C_{q-1}(K)\equiv 0$，即 “边缘的边缘一定为空”。
引理 1 的证明留做习题。该引理成立的本质，是因为从一个 $q+1$ 维有向单形中拿走两个点的先后顺序不同，会造成结果的正负号不同，导致互相抵消。这就是反对称性的威力。
3. 复形上的单纯同调群
定义 6 边缘链
在复形 $K$ 上，如果一个 $q-$ 链是一个 $q+1$ 维链条的边缘，则称该 $q-$ 链为一边缘链（border chain），记为 $B_q(K)$。
由于边缘链就是边缘算子映射的结果，我们也可以把 $q$ 维边缘链记为 $ \operatorname {Im}\partial_{q+1}$，即 $\partial_{q+1}$ 的像。
定义 7 闭链
在复形 $K$ 上，如果一个 $q-$ 链 $\sum n_is^q_i$ 满足 $\partial_q\sum n_is^q_i=0$，其中 $0$ 就是空字，那么称 $\sum n_is^q_i$ 为一条闭链（closed chain），记为 $Z_q(K)$。
例 1 闭链的例子
如图 1 所示，$a_0a_1+a_1a_2+a_2a_0$ 就是一条闭链，其边缘为 $(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+(a_0-a_2)=0$。
由引理 1 ，边缘链一定是闭链，但闭链不一定是边缘链。反例可以考虑用双参数表示的环面 $\{(\cos s\cos t, \sin s\cos t, \sin t)\in\mathbb{R}^3|t, s\in\mathbb{R}\}$ 上的闭链 $\{(\cos t, 0, \sin t)\in\mathbb{R}^3|t\in\mathbb{R}\}$，它就不可能是任何链的边缘。该例子的图示如图 2 所示。
图 2：非边缘链的闭链例子。如图，考虑复形为环面，则图中标出的一个套住环面小圆的曲线就是一个闭链，但很明显它不是任何 $2$-链的边缘。
容易证明，边缘链和闭链的集合都构成群，再考虑到链群是阿贝尔群，于是可知 $B_q(K)\triangleleft Z_q(K)\triangleleft C_q(K)$。于是我们可以求商群闭链群$/$边缘链群，那就是复形上的单纯同调群。
定义 8 复形上的单纯同调群
给定复形 $K$，则商群 $H_q=\frac{Z_q(K)}{B_q(K)}$ 称为 $K$ 上的 $q$ 维单纯同调群。
