单纯同调群的计算

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　单纯剖分（三角剖分），群同态

　　

未完成：未来可能添加更多实例。

　　 对一个拓扑空间进行单纯剖分，也就是把这个空间用一个复形来表示。复形上的单纯同调群，就是这个拓扑空间的单纯同调群。本节讨论一些常见拓扑空间的单纯同调群计算，以及一些有助于计算的定理。

连通复形上的零维单纯同调群

　　 考虑复形 $K$，将其顶点的集合记为 $\{a_i\}_{i=1}^n$，那么 $K$ 的零维链群 $C_0(K)$、同时也是零维闭链群 $Z_0(K)$1，就是顶点集合的自由生成阿贝尔群。

　　 如果一条零维链为 $x_o=\sum m_ia_i$，其中 $m_i\in\mathbb{Z}$，则称 $ \operatorname {ind} x_0=\sum m_i$ 为 $x_0$ 的指数（index）。

　　 用指数定义一个群同态$\epsilon: C_0(K)=Z_0(0)\to\mathbb{Z}$2，其中 $\epsilon(x)= \operatorname {ind} x$。

引理 1　

　　 $B_0(K)= \operatorname {ker}\epsilon$。换句话说，$K$ 上的一条零维（闭）链，“它是边缘链”$\iff$“它的指数为零”。

　　 证明：

　　 $\Rightarrow$：一维链 $\sum m_{ij}a_ia_j$ 的边缘就是 $\partial\sum m_{ij}a_ia_j=\sum m_{ij}(a_j-a_i)$，其中 $m_{ij}=m{ji}$。易得 $ \operatorname {ind}\sum m_{ij}(a_j-a_i)=0$。

　　 一个简单的例子是，$a_0a_1+a_0a_2$ 的边缘就是 $a_1-a_0+a_2-a_0$，其指数就是 $1-1+1-1=0$。

　　 $\Leftarrow$：如果一个零维链 $\sum m_ia_i$ 指数为零，那么 $\sum a_i=0$。我们可以把 $m_ia_i$ 分为 $ \left\lvert m_i \right\rvert $ 个不同的 $ \operatorname {sgn}(m_i)a_i$3，然后就可以一正一负两两配对，互相抵消掉，结果的指数就是零。

　　 一个简单的例子是，$a_1+2a_2-3a_3$ 的指数为 $1+2-3=0$，我们可以把它分成 $a_1-a_3, a_2-a_3, a_2-a_3$，每一个都是边缘链，因此 $a_1+2a_2-3a_3$ 是一个边缘链。

　　 证毕。

　　 由引理 1 和群同态基本定理（习题 2 ），$H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)=Z_0(K)/ \operatorname {ker}\epsilon= \operatorname {Im}\epsilon=\mathbb{Z}$。

圆柱面的单纯同调群

　　 将圆柱面进行三角剖分，如图 1 所示。取有向单形基本组时，可以定义左图中的三角形都以逆时针为正方向。

图
图 1：圆柱面的三角剖分。两个图都是三角剖分的示意图，只不过右图将 $a_1$ 和 $a_4$ 对应合并了，此时不得不用曲线段来代替直线段。

　　 记这个圆柱面的三角剖分为复形 $K$。

　　 由上一小节 “连通复形上的零维单纯同调群” 知，$H_0(K)=\mathbb{Z}$。

　　 由于非零 $2$ 维链的边缘链，总有 $a_1a_2, a_2a_3, a_3a_2$（即图 1 右边示意图中的 “外边缘”）和/或 $a_4a_5, a_5a_6, a_6a_4$（即图 1 右边示意图中的 “内边缘”）中的项，是无法被抵消掉的，因此 $K$ 上不存在$2$维的闭链。于是，$H_2(K)=0$。

　　 于是我们只需要计算 $H_1(K)$。

引理 2　

　　 对于本小节所说的圆柱面剖分 $K$，$C_1(K)$ 中的任一链都同调于 $a_1a_2, a_2a_3, a_3a_2$（外边缘）、$a_4a_5, a_5a_6, a_6a_4$（内边缘）或者 $a_1a_4$ 中的一个，或者这七个的某一线性组合。

　　 证明：

　　 以 $a_1a_5$ 为例。由于同调群是商去了边缘链群的结果，因此 “两条闭链同调”$\iff$“两条闭链的差是一个边缘链”。

　　 计算单形 $a_1a_2a_5$（看图辅助理解）的边缘后易得，$a_1a_5$ 和 $a_1a_2+a_2a_5$ 同调4。类似地，我们可以给出如下变换过程，每一步变换都保持变换前后的链是同调的：

\begin{equation} \begin{aligned} a_1a_5&\to a_1a_2+a_2a_5\\ &\to a_1a_2+a_6a_5+a_2a_6\\ &\to a_1a_2+a_6a_5+a_2a_3+a_3a_6\\& \to a_1a_2+a_6a_5+a_2a_3+a_4a_6+a_3a_4\\ &\to a_1a_2+a_6a_5+a_2a_3+a_4a_6+a_3a_1+a_1a_4~. \end{aligned} \end{equation}
这就把 $a_1a_5$ 变换为用引理中所说的那七个一维链的组合了。

　　 所有的 $a_ia_j$ 都可以用这个方法变换为那七个链的组合，而一切一维链条都是由 $a_ia_j$ 组合而成的，从而得证。

　　 证毕。

引理 3　

　　 引理 2 中的七个一维链所构成的闭链，必然同调于 $a_1a_2, a_2a_3, a_3a_1$ 组合而成的某个闭链。

　　 证明：

　　 根据引理 1 ，任何闭链都可以表示为那七个链的组合，又因为是闭链，这种组合一定是 $n_1(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1)+n_2(a_4a_5+a_5a_6+a_6a_4)$，其中各 $n_i\in\mathbb{Z}$5。

　　 仿照式 1 的变换过程，容易证明 $a_4a_5+a_5a_6+a_6a_4$ 同调于 $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1$。因此任何闭链都可以同调于 $(n_1+n_2)(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1)$，得证。

　　 证毕。

推论 1　圆柱面的一维单纯同调群

　　 由引理 2 和引理 3 知，$K$ 的任何一维闭链都同调于 $k\sum (a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1)$，其中 $k\in\mathbb{Z}$。类比零维的单纯同调群中 “指数” 以及用指数定义的群同态，我们也可以定义 $K$ 中一维闭链群到整数群的群同态 $\epsilon: Z_1(K)\to \mathbb{Z}$，其中 $\epsilon(k\sum (a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1))=k$。

　　 由于 $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1$ 不是边缘链，故 $Z_1(K)$ 中的边缘链只能是 $0$，即 $B_1(K)= \operatorname {ker}\epsilon$。

　　 故 $H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)=Z_1(K)/ \operatorname {ker}\epsilon=\mathbb{Z}$。

1. ^ 因为零维的链必然闭链。
2. ^ 这句的意思是，$\epsilon$ 既是 $C_0(K)$ 上的映射，又是 $Z_0(K)$ 上的映射，因为这两个群是一样的。
3. ^ $ \operatorname {sgn}$ 是符号函数；举例而言，对于 $-2a_i$，就可以分成 $2$ 个 $-a_i$。
4. ^ 观察这一结果，可以总结出寻找圆柱面上同调的链的简便方法，即 “掐头去尾”。比如这一例子里，$a_1a_2$ 的尾巴和 $a_2a_5$ 的头部相同，都是 $a_2$，那么我们就把它们首尾相连后去掉 $a_2$，就得到 $a_1a_5$。
5. ^ 注意，没有 $a_1a_4$ 项。

                     

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