贡献者： JierPeter
以各球面 $S^n$ 为拓扑空间，则它们的各阶同伦群 $\pi_i$ 列举如下1：（第一行数字表示同伦群的阶数 $i$，第一列数字表示球面的维度 $n$）
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| 1 | $\mathbb{Z}$ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_{12}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_3$ | $\mathbb{Z}_{15}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ |
| 3 | 0 | 0 | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_{12}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_3$ | $\mathbb{Z}_{15}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ |
| 4 | 0 | 0 | 0 | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{12}$ | $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_{24}\times\mathbb{Z}_3$ | $\mathbb{Z}_{15}$ | $\mathbb{Z}_2$ |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_{24}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_{30}$ |
| 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_{24}$ | 0 | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}_2$ |
| 7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_{24}$ | 0 | 0 |
| 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_2$ | $\mathbb{Z}_{24}$ | 0 |
该表格有两个很明显的规律：第一，当同伦群的阶数 $i$ 小于球面的维度 $n$ 的时候，同伦群一定是平凡群；第二，当同伦群的阶数等于球面的维度的时候，同伦群一定是正整数群 $\mathbb{Z}$。
1. ^ 文献来源：Allen Hatcher, Algebraic Topology, 2002 by Cambridge University Press, pp.339(Section 4.1)。