贡献者： JierPeter
1. 字母和词
定义 1 字母
没有赋予任何运算关系的元素，被称为一个字母（letter）。
给定没有赋予任何运算结构的任意集合 $S$，它的每个元素都可以作为一个字母。
例 1 字母的例子
- 随便取一个元素，取名为 $x$，那么 $x$ 可以看成一个字母。
- 取 $52$ 个英文字母构成的集合，则每个元素都可以当作字母。
字母就是纯粹的符号，除了 “指代一个元素” 以外没有更多的结构。没有更多结构当然没有研究的意义不过，所以我们考虑拓展字母的用途，比如把若干字母按顺序排列起来，得到新的元素。这种元素不同于字母，我们把它叫做 “词”。
定义 2 词
有限个字按照一定顺序排列构成的元素，称作一个词（word）或字。在计算机理论中，也称为字符串。
例 2 词的例子
- 单元素集合的元素 $x$，可以构成词 $x$，$xx$，$xxxxxxx$ 等。
- $52$ 个英文字母构成集合 $S$，那么 $S$ 中的元素 $l, e, t, r$ 都是字母，它们可以进行有限排列，得到词 $letter$。
单个字母也可以看成是特殊的词，这样一来，就可以把字的排列拓展成词之间的一种运算。两个词首尾相连，可以构成一个更大的排列，仍然是有限个字的排列，因此得到的还是词。
定义 3 词的运算：首尾相连
给定集合 $S$。用 $S$ 中的元素作为字母所排出的词，构成一个 “词集合”，记为 $W(S)$。在集合 $W(S)$ 上可以定义一个运算 “$\cdot$” 如下：设 $a, b\in W(S)$，那么 $a\cdot b=c$，其中 $c$ 是 $a$ 和 $b$ 首尾相连的结果。
例 3 词的运算
还是用英文字母构成的集合 $S$。$lov$ 是一个词，$ely$ 也是一个词，$lov\cdot ely=lovely$ 是这两个词进行首尾相连运算的结果。
我们也常常省略运算符号 “$\cdot$”，这时 $lov$ 和 $ely$ 的连接运算就直接写成 $lovely$ 了，和运算的结果形式上一样，非常简练。
2. 自由生成群
我们希望改进一下词集合和词运算，构造出一个群。为了做到这一点，我们首先需要扩展一下词集合。
定义 4 字母的逆
给定集合 $S$。给 $S$ 中的每一个元素 $x$ 都赋予一个 “逆字母”，记为 $x^{-1}$。
字母的逆是用来满足群的 “逆元存在性” 的。如果一个词中出现某个字母和对应的逆字母相连接，那么它们就必须被 “消除”。比如说，$lsdd^{-1}l^{-1}m^{-1}m$ 被认为和 $lsl^{-1}$ 是相同的。特别地，对于任何字母 $x, y$，我们认为 $xx^{-1}$，$x^{-1}x$，$yy^{-1}$，$y^{-1}y$ 都是同一个词，称为空词（empty word）或空字。
有了这个规则，我们就可以构造出一个群了：
定理 1 自由生成群
给定集合 $S$，用它的元素作为字母。$S$ 中的全体字母和它们的逆字母可构成词，并且构词过程中把相邻的互逆字母消除，这样得到的词所构成的集合记为 $F(S)$。在 $F(S)$ 中定义运算为词的首尾相连，那么 $F(S)$ 配合该运算构成一个群，称为由集合 $S$ 生成的自由群（free group），或自由生成群。
自由群的单位元就是空词。一个词的字母都取逆以后反序排列，就得到了这个词的逆元。比如说，$le^{-1}tter$ 的逆元素就是 $r^{-1}e^{-1}t^{-1}t^{-1}r^{-1}el^{-1}$。
自由群是结构复杂度最高的群，这是因为所有的群都可以看成某个自由群的商群，而商群是把原来的群中一些细节特征忽略掉的结果。这个结论是由以下定理保证的：
定理 2 自由群的一般性质
给定任意的集合 $S$ 和群 $G$。如果 $f:S\rightarrow G$ 是两个集合间的任意映射，那么总可以把 $f$ 拓展成群同态 $\varphi:F(S)\rightarrow G$，并且这种拓展是唯一的。
证明见例 5 。
考虑集合 $G$ 到群 $G$ 上的映射 $f:f(g)=g, \forall g\in G$，那么由 $f$ 拓展而来的同态 $\varphi$ 就是 $F(G)$ 到 $G$ 的满射。结合群同态基本定理（习题 2 ）可推知，这意味着 $G$ 是 $f(G)$ 的商群。