贡献者： Giacomo; addis
对于一个数列 $a_1,a_2,\dots$，形式表达式
\begin{equation}
\sum_{n=1}^\infty a_n~
\end{equation}
称为以 $a_n$ 为一般项的
（无穷）级数（series）。其中前 $N$ 项的和
\begin{equation}
S_N:=\sum_{n=1}^N a_n~
\end{equation}
称为级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的
部分和（partial sum）. 如果部分和序列 $S_1,S_2,\dots$ 有极限，也就是说存在实数 $S$ 使得
\begin{equation}
\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n=S~,
\end{equation}
则称级数
式 1 收敛到 $S$
（converges to $S$）, $S$ 称为它的
和（sum）。如果部分和序列不存在极限，则称级数
不收敛或
发散（divergent）。
一个简单的收敛的例子是
例 1 几何级数
当 $q > 1$ 的时候，几何级数
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac1{q^n} = 1 + \frac1{q} + \frac1{q^2} + \cdots~,
$$
按照等比数列的求和公式，它的部分和为
$$
\sum_{n=0}^N \frac1{q^n} =\frac{1 - \frac1{q^{N+1}}}{1 - \frac1{q}}~.
$$
由此可见它收敛到 $\frac{q}{q - 1}$。
级数收敛的有一个很简单的必要条件：
定理 1
如果级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，那么数列 $a_1, a_2, \dots$ 收敛到 $0$。
如果数列 $a_n$ 不收敛，或者收敛到一个非零的数字，就会导致它们的部分和 “震荡”。
这个定理不是充分的，我们有反例：
例 2 调和级数
调和级数
$$
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots~
$$
不收敛，具体证明可以参考例 1 。
另一方面我们也可以给出两个充分条件：
定理 2
如果级数 $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ 收敛，那么级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，而且我们有
$$
\left| \sum_{n=1}^\infty a_n \right| \leq \sum_{n=1}^\infty |a_n| ~.
$$
这是因为我们有
$$
\left|\sum_{n=1}^N a_n\right| \leq \sum_{n=1}^N |a_n|~.
$$
这个条件不是必要的，反例是 $\sum_{n = 1}^\infty (-1)^n\frac1{n}$ 收敛到 $- \ln\left(2\right) $。
未完成：在分析或者微积分板块证明它。
另外一个是
定理 3
已知级数 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛，如果我们有 $|a_n| \leq b_n$，那么级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，而且我们有
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n \leq \sum_{n=1}^\infty b_n ~.
$$
1. 级数的应用
自然常数 $ \mathrm{e} $ 有一个等价定义为
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots~,
\end{equation}
这是一个收敛的级数，因为当 $n \geq 4$ 的时候
$$
\frac1{n!} \leq \frac1{n^2}~
$$
根据
定理 3
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} &= 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \sum_{n=4}^\infty \frac{1}{n!} \\
&\leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \sum_{n=4}^\infty \frac{1}{n^2} \\
\end{aligned}~
$$
后者是收敛的。