贡献者: JierPeter
超线性空间是一种在现代理论物理中应用的代数结构,用于描述超对称性的各种代数性质。它是普通线性空间的一个简单推广,附加了对其中元素奇偶性的判断。
$V_i$ 中的元素称为齐次的(homogeneous)。$V_i$ 的子空间被称为 $V$ 的齐次子空间(homogeneous subspace),比如 $V_i$ 本身。
齐次元素的奇偶性(parity)由所属子空间决定:对于 $v\in V_i$,定义 $ \left\lvert v \right\rvert =i\in\mathbb{Z}_2$,其中 $ \left\lvert v \right\rvert =0$ 时称 $v$ 是偶(even)的,否则是奇(odd)的。在理论物理中,偶元素也被称为玻色元素(Bose element),奇元素则被称为费米元素(Fermi element)。
由于超线性空间是两个齐次空间的直和,因此超线性空间中也存在非齐次的元素。
超线性空间空间之间的同态(homomorphism)1,定义为一个保次线性映射,即如果有两个超线性空间 $V=V_0\oplus V_1$ 和 $W=W_0\oplus W_1$,那么一个线性映射 $f:V\to W$ 是保次的,当且仅当 $f(V_i)\subseteq W_i, i=0, 1$。
换句话说,超线性空间同态不改变元素的奇偶性。
反过来,如果 $f(V_i)\subseteq W_{1-i}$,那么我们说 $f$ 是奇偶反演(parity reversing)的。
取 $V$ 的一组基,其中每个基向量都是齐次元素,就可以证明定理 1 。
如果我们把保次的线性映射称为偶的,奇偶反演的称为奇的,那么全体 $V\to W$ 的线性变换就构成了一个超线性空间,记为 $\mathbf{Hom}(V, W)$。容易证明
由定义易得,如果 $ \operatorname {dim}V=n|m$,那么也有 $ \operatorname {dim}V^*=n|m$,从而在超线性空间意义上,对偶空间也和原空间同构。
对于两个超线性空间 $V=V_0\oplus V_1$ 和 $W=W_0\oplus W_1$,它们的直和 $V\oplus W$ 还是超线性空间,其中 $(V\oplus W)_i=V_i\oplus W_i$。
它们的张量积 $V\otimes W$ 也可以构成超线性空间,其中 $(V\otimes W)_i=(V_i\otimes W_0)\oplus(V_0\otimes W_i)$。用抽象指标来描述的话,如果 $v^a$ 和 $w^b$ 分别是 $V$ 和 $W$ 的齐次元素,那么 $v^aw^b$ 是 $V\otimes W$ 的齐次元素,次数为 $a+b$。