多项式矩阵

贡献者： 3sanha0

预备知识　多项式，矩阵

　　多项式矩阵也被称为 $λ$ -矩阵

定义 1　多项式矩阵

　　下列形式的矩阵 $A (λ) = (\begin{matrix} a_{11} (λ) & a_{12} (λ) & \dots & a_{1 n} (λ) \\ a_{21} (λ) & a_{22} (λ) & \dots & a_{2 n} (λ) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} (λ) & a_{m 2} (λ) & \dots & a_{m n} (λ) \end{matrix}),$ 其中 $a_{i j} (λ)$ 是数域 $K$ 上的多项式，称为多项式矩阵或 $λ$ -矩阵

　　 $λ$ -矩阵的加减法、数乘以及乘法与数域上的矩阵的运算一样，只需在运算过程中将数的运算用一元多项式的运算替代即可。特征矩阵是一种特殊的 $λ$ -矩阵。

定义 2　多项式矩阵的初等行变换

　　对 $λ$ -矩阵 $A (λ)$ 施行下列 3 种变换称为 $λ$ -矩阵的初等行变换：

将 $A (λ)$ 的两行对换
将 $A (λ)$ 的 $i$ 行乘以常数 $c$ ， $c$ 是数域 $K$ 上的非零数
将 $A (λ)$ 的 $i$ 行乘以 $K$ 上的多项式 $f (λ)$ 后加到第 $j$ 行上

　　同理，也可以这样定义 3 种 $λ$ -矩阵的初等列变换。

　　注：第二种初等变换不能乘以 $f (λ)$

　　多项式矩阵也能被表达为以（数值）矩阵为系数的多项式，所以也被称为矩阵系数多项式。令 $d_{i j} = \deg (a_{i j} (λ))$ ， $d = m a x_{\forall i, j} (d_{i j})$ ，那么 $A (λ)$ 也可以被表达为：

\begin{matrix} (1) & A = \sum_{k = 0}^{d} λ^{k} [a_{i j k}]_{\forall i, j} = \sum_{k = 0}^{d} λ^{k} A (k) . \end{matrix}

　　用下列来具体解释，将下列 $λ$ -矩阵 $A (λ)$ ，写为矩阵系数多项式的形式

\begin{matrix} (2) & A (λ) = (\begin{matrix} 1 - λ & 2 λ - 1 & λ \\ λ & λ^{2} & - λ \\ 1 + λ^{2} & λ^{2} + λ - 1 & - λ^{2} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　解 $A (λ) = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) λ + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) λ^{2} .$

多项式矩阵

定义 1 多项式矩阵

定义 2 多项式矩阵的初等行变换

定义 1　多项式矩阵

定义 2　多项式矩阵的初等行变换