范畴论

贡献者： vitalyr

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1. 基本概念

　　概括地说，范畴是由对象（Object）及其间的态射（Morphism）组成的数学结构。

定义 1　范畴

　　范畴 $\mathcal{C}$ 包含以下结构。

集合 $\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$，其元素称作 $\mathcal{C}$ 的对象；
集合 $\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}$，其元素称作 $\mathcal{C}$ 的态射，配上一对映射 $\operatorname{Mor}(\mathcal{C})\rightrightarrows_{a}$；
对于每三个元素 $x,y,z\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$，存在态射复合映射 ${\circ}:\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(Y,Z)\times\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(X,Y)\to\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Z)$。

　　这些结构满足以下规则。

对于每个元素 $X\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$，存在单位态射 $\operatorname{id}_X\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,X)$，使得 $\operatorname{id}_X\circ\phi=\phi$ 和 $\psi\circ\operatorname{id}_X=\psi$ 成立，其中 $\phi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(Y,X)$ 对于任意 $Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$，$\psi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Z)$ 对于任意 $Z\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$；
复合具有结合性，即对于 $\phi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(Y,Z),\psi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(X,Y),\chi\in\operatorname{Mor}_\mathcal{C}(W,X)$，有 $(\phi\circ\psi)\circ\chi=\phi\circ(\psi\circ\chi)$；
任意态射集合 $ \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)$ 和 $ \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X',Y')$ 不交，除非 $X=X',Y=Y'$，此时它们相等。

　　由于以下练习，我们讨论单位态射的时候可以省去选择，只讨论唯一的单位映射。

习题 1　

　　证明同个元素的任意两个单位态射是相等的。

　　有时我们也会使用 $\operatorname{dom}$（域）和 $\operatorname{cod}$（陪域）来讨论态射。值得注意的是，我们一般情况下要求元素为一个集合而不是一个类，仅在如下范畴中我们放宽要求允许元素为一个真类：

集合范畴 $(\mathbf{Set})$，态射为映射；
交换群范畴 $(\mathbf{Ab})$，态射为交换群同态；
群范畴 $(\mathbf{Grp})$，态射为群同态；
左 $G$-群作用范畴 $(\mathbf{G{-}Set})$，态射为 $G$-映射；
对于含幺交换环 $R$，模范畴 $(\mathbf{R{-}Mod})$，态射为模同态；
对于域 $F$，向量空间范畴 $(\mathbf{F{-}Vect})$，态射为线性映射；
拓扑空间范畴 $(\mathbf{Top})$，态射为连续映射；
含幺交换环范畴 $(\mathbf{Ring})$，态射为环同态。

　　我们称 $ \operatorname {Ob}$ 为一集合的范畴集合范畴，称其为真类范畴若其 $ \operatorname {Ob}$ 不构成集合。另外，若一真类范畴的每个态射类都构成集合，我们称它是一个局部集合范畴。为简化我们所使用的符号，若所讨论的范畴在上下文中没有歧义，可使用符号 $ \operatorname {Ob}$ 和 $ \operatorname {Mor}(X,Y)$；另对于态射 $\phi\in \operatorname {Mor}(X,Y)$，我们通常使用映射符号将其写为 $\phi:X\to Y$。

定义 2　范畴论同构

　　对于一个态射 $\phi:X\to Y$，若存在另一个态射 $\psi:Y\to X$ 使得 $\phi\circ\psi= \operatorname {id}_Y$ 和 $\psi\circ\phi= \operatorname {id}_X$ 成立，则我们说它是一个范畴论同构。此时 $\phi$ 也被称为一个可逆态射，而 $\phi^{-1}=\psi$ 则被称为它的逆。

　　若一态射的域和陪域相同，则它可被称为一个自态射，元素 $X\in \operatorname {Ob}$ 的所有自态射形成一个幺半群，被称为 $ \operatorname {Endo}_\mathcal{C}(X)$；若它还是一个同态，则被称为自同态，所有元素 $X$ 的自同态形成一个群，被称为 $ \operatorname {Auto}_\mathcal{C}(X)$。

定义 3　群胚

　　若范畴 $\mathcal{C}$ 的所有态射都是范畴论同构，则称范畴 $\mathcal{C}$ 为一群胚。

　　群胚是群的一般化结构。一个群 $G$ 可以生成一个群胚，使得其结构被保留：这个群胚由一个元素 $X$ 构成，其仅有的态射为 $ \operatorname {Mor}(X,X)=G$，态射复合被定义为 $a\circ b=ab$，请自行验证如此定义的范畴为一个群胚。集合 $A$ 也可生成群胚，定义

\begin{equation} \operatorname {Ob}=A\quad \operatorname {Mor}(X,Y)=\begin{cases}\emptyset&X\neq Y\\\{ \operatorname {id}\}&X=Y\end{cases}~, \end{equation}

请自行验证它是一个群胚。

定义 4　函子

　　范畴 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 间的协变函子 $F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 包含以下结构。

若 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 均为集合范畴，则函子包含一个映射 $F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{Set}}: \operatorname {Ob}(\mathcal{A})\to \operatorname {Ob}(\mathcal{B})$，否则函子包含一个从 $ \operatorname {Ob}(\mathcal{A})$ 到 $ \operatorname {Ob}(\mathcal{B})$ 的关联 $F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{PrCl}}$；
函子包含一个映射 $F_{ \operatorname {Mor}}: \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)\to \operatorname {Mor}_\mathcal{B}(F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{Set/PrCl}}(X),F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{Set/PrCl}}(Y))$，对于每个 $x,y\in \operatorname {Ob}(A)$。

　　函子满足如下公理。

对于任意元素 $X\in \operatorname {Ob}(A)$，$F( \operatorname {id}_X)= \operatorname {id}_{F(x)}$；
对于任意可复合的元素对 $(\phi,\psi)$，$F(\phi\circ_\mathcal{A}\psi)=F(\phi)\circ_\mathcal{B}F(\psi)$。

　　我们仅考虑域和陪域为上方列出的真类范畴的具有 $F_{ \operatorname {Ob}}^{\text{PrCl}}$ 的函子。我们考虑的大部分范畴和函子都是数学对象（可用 ZFC 公理化集合论描述的对象）。注意若函子对象关系的类型（映射或关联）明确，我们可以将其省略。另外我们也会在语义明确时省略下标 $ \operatorname {Ob}$ 和 $ \operatorname {Mor}$。任何范畴 $\mathcal{A}$ 都有一个显然的单位函子 $ \operatorname {id}_\mathcal{A}$，同时对于两个函子 $F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ 和 $G:\mathcal{B}\to\mathcal{C}$，我们可以定义它们的复合。

　　 TODO opposite category and contravariant functor

　　 TODO natural transformation

2. $ \operatorname {Hom}$ 函子和 Yoneda 引理

定义 5　$ \operatorname {Hom}$ 函子

　　若 $\mathcal{C}$ 是一个局部集合范畴，对于每个 $A\in\mathcal{C}$，记 $A$-协变 $ \operatorname {Hom}$ 函子为 $h^A= \operatorname {Hom}(A,-):\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$，其定义如下：

若 $X\in \operatorname {Ob}(\mathcal{C})$，则 $h^A(X)= \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(A,X)\in \operatorname {Ob}(\mathbf{Set})$；
若 $f\in \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)$，则对于 $g:A\to X$，有 $h^A(f)=g\mapsto f\circ g:A\to Y\in h^A(Y)$。

　　记 $B$-逆变 $ \operatorname {Hom}$ 函子为 $h_B= \operatorname {Hom}(-,B):\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$，其定义如下：

若 $X\in \operatorname {Ob}(\mathcal{C})$，则 $h_A(X)= \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,B)\in \operatorname {Ob}(\mathbf{Set})$；
若 $f\in \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)$，则对于 $g:X\to B$，有 $h_A(f)=g\mapsto g\circ f:Y\to B\in h_A(Y)$。

　　若我们使用现代代数几何的语言，如上定义的逆变 $ \operatorname {Hom}$ 函子还可被称为一个预层。

定义 6　$ \operatorname {Hom}$ 函子范畴

　　我们使用 $\mathbf{Set}^\mathcal{C}$ 来记协变 $ \operatorname {Hom}$ 函子所构成的范畴，对于每个 $\mathcal{C}$ 中的态射 $\phi:A'\to A$，我们可以获得一个自然变换 $h_{\text{co}}(\phi):(h^A:\mathcal{C}\to\mathbf{Set})\Rightarrow(h^{A'}:\mathcal{C}\to\mathbf{Set})$。我们可以简单地看出，下图是交换的对于任意 $\psi\in \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(X,Y)$，于是 $h_\text{co}(\phi)$ 的确是一自然变换。

图 1：$h_{\text{co}}(\phi)$ 的自然性

　　类似地，我们可以定义逆变 $ \operatorname {Hom}$ 函子所构成的范畴 $\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^\text{op}}$，唯一不同的一点是我们需要给出一个相反的映射 $\phi:B\to B'$ 来使得下图交换。注意下图中 $h_B(-)$ 是一逆变函子，所以关于图交换的结论是对于 $\psi:Y\to X$ 而言的。

图 2：$h_{\text{ct}}(\phi)$ 的自然性

　　如上定义的 $\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^\text{op}}$ 在代数几何中也被记为 $\mathbf{PSh}(\mathcal{C})$。

习题 2　

　　请验证 $h^{-}:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}^\mathcal{C}$ 和 $h_{-}:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^\text{op}}$ 为函子。提示：观察上述定义，可以注意到前者为逆变函子，后者为协变函子。

定理 1　Yoneda 引理

　　对于任意局部集合范畴 $\mathcal{C}$ 和 $A,B\in \operatorname {Ob}(\mathcal{C})$，

给定协变函子 $F:\mathcal{C}\overset{\text{co}}{\to}\mathbf{Set}$，存在双射 $ \operatorname {Nat}(h^A,F)\simeq F(A)$；
给定逆变函子 $G:\mathcal{C}\overset{\text{ct}}{\to}\mathbf{Set}$，存在双射 $ \operatorname {Nat}(h_B,G)\simeq G(B)$

　　 证明。 对于自然变换 $\Phi:h^A\Rightarrow F$，我们将它映射到 $u=m(\Psi)=\Phi_A( \operatorname {id}_A)$（注意此处 $\Phi_A$ 是 $\mathbf{Set}$ 中 $h^A(A)\to F(A)$ 的态射，即一个映射）；对于 $v\in F(A)$，将它映射到如 $\Psi_X(f: \operatorname {Mor}_\mathcal{C}(A,X))=F(f)(v)$ 定义的自然变换 $n(v)=\Psi$。以下练习证明了 $m\circ n= \operatorname {id}$ 和 $n\circ m= \operatorname {id}$，即得所需双射。另一部分的证明留作练习。

习题 3　

　　请尝试证明在上述证明中，$m\circ n= \operatorname {id}$ 和 $n\circ m= \operatorname {id}$。

　　 解答。

$m\circ n$：若 $v\in F(A)$，则 $n(v)=\Psi$，其中 $\Psi_X(f)=F(f)(v)$，我们有 $m(\Psi)=\Psi_A( \operatorname {id}_A)=F(id_A)(v)=id_{F(A)}(v)=v$；
$n\circ m$：若 $\Phi\in \operatorname {Nat}(h^A,F)$，则下图对任意 $\phi:X'\to Y'$ 和 $\psi:A\to X'$ 交换，

图 3：此图交换
即 $F(\phi)(\Phi_{X'}(\psi))=\Phi_{Y'}(h^A(\phi)(\psi))$ 成立。取 $X'=A,\,Y'=X,\,\phi=f:A\to X,\,\psi= \operatorname {id}_A:A\to A$，则有 $F(f)(\Phi_A( \operatorname {id}_A))=\Phi_X(h^A(f)( \operatorname {id}_A))=\Phi_X(f\circ \operatorname {id}_A)=\Phi_X(f)$。此时计算 $(n\circ m)(\Phi)$，$m(\Phi)=\Phi_A( \operatorname {id}_A)=u$，$n(u)=\Psi$，其中 $\Psi_X(f)=F(f)(\Phi_A( \operatorname {id}_A))$。据前文，有 $\Phi_X(f)=F(f)(\Phi_A( \operatorname {id}_A))=\Psi_X(f)$，即得 $\Psi=\Phi$。

习题 4　

　　模仿上述证明，证明 Yoneda 引理的第二部分。

范畴论

1. 基本概念

定义 1 范畴

习题 1

定义 2 范畴论同构

定义 3 群胚

定义 4 函子

2. $ \operatorname {Hom}$ 函子和 Yoneda 引理

定义 5 $ \operatorname {Hom}$ 函子

定义 6 $ \operatorname {Hom}$ 函子范畴

习题 2

定理 1 Yoneda 引理

习题 3

习题 4

定义 1　范畴

习题 1　

定义 2　范畴论同构

定义 3　群胚

定义 4　函子

定义 5　$ \operatorname {Hom}$ 函子

定义 6　$ \operatorname {Hom}$ 函子范畴

习题 2　

定理 1　Yoneda 引理

习题 3　

习题 4　