贡献者： 零穹
张量可按选出来的共变或逆变指标的集合来讨论对称性和斜对称性。由于张量的共变和逆变指标的对称性（即共边和逆变或矢量和对偶矢量的区别仅在于原矢量空间的选择），在讨论张量的对称性和斜对称性时可直接将张量限制在 $(p,0)$ 型或 $(0,p)$ 型张量，而不减少一般性。比如：讨论张量 $T^{i_1 i_2\cdots i_p}$ 和 ${S_{i_1}}^{i_2\cdots i_p}$ 在指标 $\{i_1,i_2\}$ 上的对称性质没有任何区别，只需将 $T$ 的上指标 $i_1$ 当作下指标即可移值到张量 $S$。故在本文里，我们总是将张量限制为 $(p,0)$ 型张量。并且讨论的是这 $p$ 个指标的对称性和斜对称性，而不是它的一部分（因为在讨论某些指标的（斜）对称性质的时候，只需将其它指标当作固定的就变成这里讨论的情形）。
本节将引入对称化映射和交错化映射，并证明在这两映射作用下，张量将变为对称张量和斜对称张量。张量的对称性和斜对称性的概念事实上已在对称/反对称多线性映射中指出。
1. 张量的对称化
设 $T\in \mathbb{T}_p^0(V)$（定义 2 ），即
\begin{equation}
T=\sum_{i_1,\cdots,i_p}T_{i_1,\cdots,i_p}e^{i_1}\otimes\cdots\otimes e^{i_p}~,
\end{equation}
而 $S_p$ 是作用在指标集合 $\{1,2,\cdots,p\}$ 上的 $p$ 阶
置换群。
对任意置换 $\pi\in S_p$，定义映射：
\begin{equation}
f_\pi(T)(x_1,x_2,\cdots,x_p):=T(x_{\pi1},\cdots,x_{\pi p})~,
\end{equation}
其中，$x_i$ 是以 $i$ 为指标的矢量。
定理 1
$\forall \pi,\sigma\in S_p$ 都有
\begin{equation}
f_{\pi}(T)\in\mathbb{T}_p^0~,
\end{equation}
\begin{equation}
f_\pi \circ f_\sigma=f_{\pi\sigma}~,
\end{equation}
\begin{equation}
f_{\pi}(T)=\sum_{i_1\cdots i_p}T_{i_{\pi1}\cdots i_{\pi p}}e^{i_1}\otimes\cdots\otimes e^{i_p}~.
\end{equation}
上式等价于
\begin{equation}
f_{\pi}(T)=\sum_{i_1\cdots i_p}T_{i_1\cdots i_p}e^{i_{\pi^{-1}1}}\otimes\cdots\otimes e^{i_{\pi^{-1}p}}~.
\end{equation}
证明：
1。$f_\pi(T)\in\mathbb{T}_p^0$
不失一般性，设 $\pi k=1$，那么由式 2
\begin{equation}
\begin{aligned}
f_\pi(T)(\alpha x_1+\beta y_1,x_2,\cdots,x_p)&=T(x_{\pi1},\cdots,\alpha x_1+\beta y_1,\cdots,x_{\pi p})\\
&=\alpha T(x_{\pi1},\cdots,x_1,\cdots,x_{\pi p})+\beta T(x_{\pi1},\cdots,y_1,\cdots,x_{\pi p})\\
&=\alpha f_{\pi}(T)(x_1,x_2,\cdots,x_p)+\beta f_{\pi}(T)(y_1,x_2,\cdots,x_p)~.
\end{aligned}
\end{equation}
2. $f_\pi \circ f_\sigma=f_{\pi\sigma}$
由式 2 和函数的复合，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
f_\pi\circ f_\sigma(T)(x_1,\cdots,x_p)&=f_\pi(f_\sigma(T))(x_{1},\cdots,x_{p})\\
&=f_\sigma(T)(x_{\pi1},\cdots,x_{\pi p})\\
&=T(x_{\pi\sigma1},\cdots,x_{\pi\sigma p})\\
&=f_{\pi\sigma}(T)(x_1,\cdots,x_p)~.
\end{aligned}
\end{equation}
上面第三个等式来源于
式 2 ，注意
式 2 中左边括号内的变量从左到右恒为按从 1 开始依次增大的顺序编号的。
3.式 5 ，式 6 的证明：
由张量坐标的定义（定义 1 ）
\begin{equation}
\begin{aligned}
f_{\pi}(T)_{i_1\cdots i_p}&=f_{\pi}(T)(e_{i_1},\cdots,e_{i_p})=T(e_{i_{\pi1}},\cdots,e_{i_{\pi p}})=T_{i_{\pi1}\cdots i_{\pi p}}~.
\end{aligned}
\end{equation}
于是由
定理 1 ，即得
式 5 ，将
式 5 指标中的 $i$ 换为 $\pi^{-1} i$，即得
式 6 。
证毕！
若设 $f_\pi(\alpha T+\beta T')=\alpha f(T)+\beta f_\pi(T')$，则任意 $\pi \in S_p$ 引导出非退化的线性算子 $f_\pi:\mathbb{T}_p^0\rightarrow\mathbb{T}_p^0$。
定义 1 对称，对称化
称 $(p,0)$ 型张量 $T$ 是对称的，如果 $\forall \pi\in S_p$ 都有 $f_{\pi}(T)=T$。称映射
\begin{equation}
S=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p} f_\pi:\mathbb{T}_p^0\rightarrow\mathbb{T}_p^0~
\end{equation}
为 $\mathbb{T}_p^0(V)$ 上矢量的
对称化映射。
定理 2 张量的对称化
每个张量经 $S$ 的作用后都是对称的，即 $\forall \pi\in S_p$，都有 $f_\pi(S(T))=S(T)$。
证明：
\begin{equation}
f_\pi(S(T))=\frac{1}{p!}\sum_{\sigma\in S_p} f_\pi(f_\sigma(T))=\frac{1}{p!}\sum_{\sigma\in S_p} f_{\pi\sigma}(T)~.
\end{equation}
由于 $S_p$ 是个群，则其上任一个元素 $\pi$ 都是其上的一个双射。即当 $\sigma$ 取遍 $S_p$ 时，$\pi\sigma$ 也取遍 $S_p$。所以上式变为
\begin{equation}
f_\pi(S(T))=\frac{1}{p!}\sum_{\tau\in S_p} f_{\tau}(T)=S(T)~.
\end{equation}
习题 1
试证明：$\mathbb{T}_p^0(V)$ 上所有对称张量构成一个子空间（矢量空间）。
定义 2 对称张量子空间
$\mathbb{T}_p^0(V)$ 中全体对称张量构成的子空间记作 $\mathbb{T}_p^+(V)$。
习题 2
试证明：若 $T\in\mathbb{T}_p^+(V)$，则 $S(T)=T$。
由于 $\mathbb{T}_p^0$ 型张量共 $p$ 个指标，每个指标所在处需放一个数字，这些数字在 $\{1,\cdots,n\}$ 中选取。对 $\mathbb{T}_p^0$ 的对称张量，独立分量的个数相当于从 $n$ 个数字中一次选 $p$ 个的重复组合（定义 6 ），该个数为 $ \left(\begin{aligned}
&n+p-1\\&\qquad p
\end{aligned} \right) $。
2. 张量的交错化
定义 3 斜对称张量
称张量 $T$ 是斜对称（反对称）的，若 $\forall \pi\in S_p$，都有
\begin{equation}
f_\pi(T)=\epsilon_\pi T~,
\end{equation}
其中 $\epsilon_\pi$ 是置换 $\pi$ 的（奇偶性）符号。
式 13 等价为
\begin{equation}
f_\tau(T)=-T~,
\end{equation}
其中，$\tau$ 是 $S_p$ 上的对换。
例 1
式 13 和式 14 等价性的证明
证明：
根据定理 1 ，置换都可分解成轮换的乘积，而由定理 2 ，轮换都可分解成对换的乘积，而奇偶性不变，即最终置换都能写成对换的乘积，而奇偶性不变，而对换都是奇置换，那么由 式 13 可得式 14 ；同样由式 14 ，任意对换 $\tau$ 的符号 $\epsilon_\tau=-1$，那么对任意置换 $\pi$，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\pi=\tau_1\cdots\tau_{2n} \quad &(\text{ $\pi$ 为偶置换})\\
&\pi=\tau_1\cdots\tau_{2n+1} &\quad (\text{ $\pi$ 为奇置换})~,
\end{aligned}
\end{equation}
于是由
式 4 和
式 14
\begin{equation}
\begin{aligned}
&f_\pi(T)=f_{\tau_1}\cdots f_{\tau_{2n}}(T)=(-1)^{2n}T=\epsilon_\pi T\quad&(\text{$\pi$ 是偶置换})\\
&f_\pi(T)=f_{\tau_1}\cdots f_{\tau_{2n+1}}(T)=(-1)^{2n+1}T=\epsilon_\pi T\quad&(\text{$\pi$ 是奇置换})~.
\end{aligned}
\end{equation}
即由
式 14 得到
式 13
证毕！
习题 3
试证明：若 $T$ 是斜对称的，则 $T_{i_{\pi1}\cdots i_{\pi p}}=\epsilon_\pi T_{i_1\cdots i_p}$，特别的，$ T_{i_1\cdots i_p}$ 在任两指标相同时为 0。
由习题 3 ，对于 $p$ 个数字构成的所有排列中，只要确定了一个排列下的坐标即可。而 $p$ 个指标中有两个相同则该坐标为 0，所以独立的坐标个数相当于从 $n$ 个数中选择 $p$ 个不同的数的个数，即共有 $\left(\begin{aligned}
&n\\
&p
\end{aligned}\right)$
个独立的指标。
定义 4 张量的交错化
称映射
\begin{equation}
A=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_\pi f_\pi:\mathbb{T}_p^0(V)\rightarrow\mathbb{T}_p^0(V)~
\end{equation}
为 $\mathbb{T}_p^0(V)$ 上矢量的
交错化映射。
定理 3
$\mathbb{T}_p^0(V)$ 上所有斜对称张量的集合构成 $\mathbb{T}_p^0(V)$ 的一个子空间。
证明：结合律、单位元显然，封闭性证明如下：
\begin{equation}
\begin{aligned}
f_\pi P=\epsilon_\pi P,\quad&f_\pi R=\epsilon_\pi R\\
&\Downarrow\\
f_\pi(\alpha P+\beta R)&=\alpha f_\pi P+\beta f_\pi R\\
&=\alpha \epsilon_\pi P+\beta \epsilon_\pi R~.
\end{aligned}
\end{equation}
斜对称张量的逆元由 $f_\pi$ 的线性易证也是斜对称张量。
证毕！
定义 5 斜对称张量子空间
$\mathbb{T}_p^0(V)$ 上所有斜对称张量构成的子空间记作 $\Lambda^p(V^*)$。
之所以记作 $\Lambda^p(V^*)$ 而非 $\Lambda^p(V)$ 是因为 $\Lambda^p(V^*)$ 的元素是 $p$ 个 $V^*$ 上的元素的张量积，$V^*$ 就暗示了这一点，而 $\Lambda^p(V)$ 则是 $\mathbb{T}_0^p(V)$ 的斜对称张量子空间。
定理 4
交错化映射 $A$ 是个线性算子，且满足：
- $A^2=A$;
- $\mathrm{Im} A=\Lambda^p(V^*)$;
- $Af_\sigma=f_\sigma A=\epsilon_\sigma A$。
证明：1.由式 17
\begin{equation}
\begin{aligned}
A^2&=\frac{1}{(p!)^2}\sum_{\sigma,\pi\in S_p}\epsilon_\sigma\epsilon_\pi f_\sigma\circ f_\pi=\frac{1}{(p!)^2}\sum_{\sigma,\pi\in S_p}\epsilon_{\sigma\pi} f_{\sigma\pi}\\
\end{aligned}~.
\end{equation}
由于对任意 $\rho\in S_p$，任选 $\sigma\in S_p$，都有 $\pi=\sigma^{-1}\rho$，使得 $\rho=\sigma\pi$。而每个 $\rho$ 都是 $S_p$ 上的双射，所以表示成 $\rho=\sigma\pi$ 的 $\sigma$ 和 $\pi$ 一一对应，而 $\sigma$ 共能取 $ \left\lvert S_p \right\rvert =p!$ 个，那么每一个 $\rho$ 都有 $p!$ 种方式被表达成 $\sigma \pi$ 的形式。所以，若提取出
式 19 中的 $\sigma\pi=\rho$ 的项，其系数就是 $p!$，因此
\begin{equation}
A^2=\frac{1}{(p!)}\sum_{\rho\in S_p}\epsilon_\rho f_\rho=A~.
\end{equation}
2。注意 ${\epsilon_\sigma}^2=1$
\begin{equation}
f_\sigma(A(T))=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_\pi f_\sigma(f_\pi(T))=\epsilon_\sigma\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_{\sigma\pi} f_{\sigma\pi}(T)=\epsilon_\sigma A(T)~,
\end{equation}
所以 $\mathrm{Im} A\subset\Lambda^p(V^*)$。另外，任意 $T\in\Lambda_p(V^*)$，都有
\begin{equation}
A(T)=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_\pi f_\pi(T)=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}T=T~,
\end{equation}
即 $T\in \operatorname{Im} A\Rightarrow\Lambda_p(V^*)\subset\mathrm{Im} A$。
故 $\mathrm{Im} A=\Lambda^p(V^*)$。
3。由式 21 ，$f_\sigma A=\epsilon_\sigma A$。同样的易证 $Af_\sigma=\epsilon_\sigma A$，故 $Af_\sigma=f_\sigma A=\epsilon_\sigma A$。
证毕！
定理 4 的第 2 条说明在 $A$ 的作用下张量变为斜对称张量。
定理 5
对任意张量 $Q\in\mathbb T_q^0(V),R\in\mathbb T_r^0(V)$，成立
\begin{equation}
A(A(Q)\otimes R)=A(Q\otimes A(R))=A(Q\otimes R)~.
\end{equation}
证明：由定义 4 ，并注意 $A(Q)\in\mathbb T_q^0(V),R\in\mathbb T_r^0(V)\Rightarrow A(Q)\otimes R\in\mathbb T_{q+r}^0(V)$ 得
\begin{equation}
A(A(Q)\otimes R)=\frac{1}{(q+r)!}\sum_{\pi\in S_{q+r}}\epsilon_\pi f_{\pi}(A(Q)\otimes R)~.
\end{equation}
利用 $A$ 的线性性，得到
\begin{equation}
A(A(Q)\otimes R)=\frac{1}{q!}\sum_{\pi\in S_q}\epsilon_\pi A(f_{\pi}(Q)\otimes R)~.
\end{equation}
定义嵌入映射 $\varphi:S_q\rightarrow S_{q+r}$，并记 $\tilde \pi=\varphi(\pi)$，其作用规则为
\begin{equation}
\tilde\pi i=\left\{\begin{aligned}
&\pi i\quad &(i\leq p)\\
&i\quad &(i>p)~,
\end{aligned}\right.
\end{equation}
那么，$f_\pi(Q)\otimes R=f_{\tilde\pi}(Q\otimes R)$，从而由
定理 4 ，
式 25 可写成（注意 $\epsilon_{\tilde\pi}=\epsilon_\pi$）
\begin{equation}
\begin{aligned}
A(A(Q)\otimes R)&=\frac{1}{q!}\sum_{\pi\in S_q}\epsilon_\pi A(f_{\tilde\pi}(Q\otimes R))\\
&=\frac{1}{q!}\sum_{\pi\in S_q}\epsilon_\pi^2 A(Q\otimes R)\\
&=A(Q\otimes R)~.
\end{aligned}
\end{equation}
同理，$A(Q\otimes A(R))=A(Q\otimes R)$。
证毕！
定义 6 外 $p$ 形式，$p$ 矢量
称共变的斜对称张量，即 $\Lambda^p(V^*)$ 的元素为 外 $p$ 形式或 $V$ 上的$p$ 次外形式（exterior form）。而称反变的斜对称张量，即 $\Lambda^p(V)$ 的元素为$p$ 矢量。
这里，$\Lambda^p(V^*)$ 的元素叫作 “p 次外形式”，表示的是它是 $V$ 的 $p$ 次函数，而 “函数” 通常也称作 “型”（定义 2 ），“型” 或 “形式” 都是对应英文 “form”。而 $\Lambda^p(V)$ 的元素为称为 $p$ 矢量，可理解成它是 $p$ 个 $V$ 上矢量的张量积。只不过这些专门的术语是对斜对称来说的。