贡献者： Giacomo; 零穹
1. 多线性映射
定义 1 多线性映射
设 $V_1,\cdots,V_p, U$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。映射
\begin{equation}
f:V_1\times V_2\times\cdots\times V_p\rightarrow U~
\end{equation}
称为
多线性、
$p$-线性（或者
多重线性映射），如果对任意指数 $i=1,\cdots,p$ 及任意固定的向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _j \in V_j\quad(1 \leq j \leq p,j\neq i)$，映射
\begin{equation}
f_i: \boldsymbol{\mathbf{v}} \mapsto f( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _{i-1}, \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{a}} _{i+1}, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)~
\end{equation}
都是线性的。
所有 $p$-线性的映射构成的集合记为 $\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_p;U)$。
定理 1
$p$-线性映射的集合 $\mathcal{L}(V_1,\cdots,V_p;U)$ 构成 $\mathbb{F}$-向量空间，它的线性组合（加法和数乘）定义为
\begin{equation}
(\mu f+\nu g)( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)=\mu f( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)+\nu g( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)~
\end{equation}
其中，$\forall \mu,\nu \in\mathbb{F}~, \boldsymbol{\mathbf{a}} _i \in V_i~, f, g\in \mathcal{L}(V_1,\cdots,V_p;U)$。
证明： 即证明，任意两个 $p$-线性映射的线性组合 $\alpha f+\beta g$ 也是一个 $p$-线性映射。
令 $h=\alpha f+\beta g$，且对任意指数 $i=1,\cdots,p$ 及任意固定的向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _j \in V_j\quad(1\leq j\leq p,j\neq i)$，记
\begin{equation}
h_i: \boldsymbol{\mathbf{v}} \mapsto h( \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _{i-1}; \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{a}} _{i+1},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _p)~.
\end{equation}
则对 $\forall \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V_i,\quad a,b\in\mathbb{F}$
\begin{equation}
\begin{aligned}
h_i(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )&=(\alpha f_i+\beta g_i)(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&=\alpha f_i(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )+\beta g_i(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&=a\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+b\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )+a\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+b\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )\\
&=a \left(\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \right) +b(\alpha f_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )+\beta g_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} ))\\
&=ah_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+bh_i( \boldsymbol{\mathbf{y}} )~,
\end{aligned}
\end{equation}
这显然满足 $p$-线性映射的定义。证毕！
定义 2 多线性型
任意 $V^p$ 到 $\mathbb{F}$ 的多线性映射称为 $V$ 上的多线性型（multilinear form）或者 $V^p$ 上的多线性 $\mathbb{F}$-值函数，简称多线性函数。
未完成：非退化多线性型