贡献者: zhaojiayu; JierPeter; Giacomo
对在置换群、称群中,我们已经简单的介绍了由一个固定的有限集合 $\{1, 2, ..., n\}$ 上所有置换组成的集合连同映射的符合所构成的群:对称群。在这一节我们将更加深入的讨论对称群的一些基本结构和性质。
一个置换实际上就是一个函数,要把一个函数表示出来要么给出表达式(一个通用的对应关系),要么把所有的点对应的函数值一一列举出来。对于置换来说我们通常采用后者。
这个写法的意思是,作为一个置换。$\sigma$ 把 $1$ 对应到了 $2$,$2$ 对应到 $1$,$3$ 对应到 $4$,$4$ 对应到 $3$. 值得注意的是,第一行虽然习惯于按照大小来排列从 $1$ 到 $n$ 这些数,但是实际上只要每个数字都出现一次就够了,不按照大小顺序来排列同样也可以表达出一个函数所包含的全部信息。另外,把两行换位置互换所得到的置换 $\begin{pmatrix} 2\ 1\ 4\ 3\\ 1\ 2\ 3\ 4 \end{pmatrix}$ 就是 $\sigma$ 的逆元。
对于一些比较特殊的置换,我们有更简便的表示方法。
这个证明思路很简单,因为这两个轮换不相交,可以把它们看成是两个不同的集合重新排列。因此先对哪一个集合重排不影响最终结果。感兴趣的读者可以尝试把证明写出来。
一般来说,不是所有的置换都可以简记成一个轮换,换句话说,能写成轮换的只是一小部分置换。例 1 中的 $\sigma$ 就不是一个轮换。但是,下面的定理表明,每个置换都可以唯一的表达成轮换的乘积:
这里简单说一下证明思路,具体的证明只需补充细节即可。考虑 $\sigma$ 的一个动点(被其改变位置的一个数字):$i_1$. 记 $i_2=\sigma(i_1)...i_n=\sigma(i_{n-1})$ 直到出现某个 $i_k=i_1$ 为止(因为一共只有有限多个数字,这种情况必定发生)。我们得到一个轮换 $\sigma_1=(i_1\ i_2...i_k)$. $\sigma$ 与 $\sigma_1$ 在 $i_1$ 到 $i_k$ 这些数上的作用是完全相同的,而 $\sigma_1$ 保持其他数字不动,可以理解为 $\sigma_1$ 是 $\sigma$ 的一部分。显然 $\sigma_1$ 的长度至少是 2(否则 $i_1$ 将是不动点)。现在考虑 $\sigma\sigma_1^{-1}$. 这个置换就是 $\sigma$ 相比于 $\sigma_1$ 多出的部分。它的动点显然少于 $\sigma$,对动点个数做归纳(或者重复上述步骤)可以得到定理中 $\sigma$ 的轮换分解。
证明:$(i_1\ i_2...i_k)=(i_1\ i_k)(i_1\ i_{k-1})...(i_1\ i_2)$。
不仅分解的方式不唯一,不同的分解用到的对换的个数甚至也是不同的。但是尽管如此,不同分解所需对换个数的奇偶性是一致。
设 $\sigma$ 是一个 $n$ 阶置换,其可以写成 $s$ 个不相交的轮换的积,$\sigma=\tau_1\tau_2\cdots\tau_n$,我们定义一个函数 $N(\sigma)=(-1)^{n-s}$。设 $(a\ b)$ 为任意对换,则不难验证 $N((a\ b)\sigma)=-1N(\sigma)$1,同理有 $N(\sigma)=(-1)^sN(I)$,这就说明 $k,s$ 的奇偶性相同。
从定理中可以看出,任意的两个分解中用到的对换个数要么同时是奇数,要么同时是偶数。换句话是,这个奇偶性不依赖于分解,只与对换 $\sigma$ 本身有关。
由引理 2 、定理 2 和定义 2 可知,$S_n$ 的全体偶置换构成一个正规子群。
1. ^ 只需注意到 $(a\ b)(a\ c\cdots\ d\ b\ e\cdots\ f)=(a\ c\ \cdots\ d)(b\ e\ \cdots f)$ 和 $(a\ b)(a\ c\ \cdots\ d)(b\ e\ \cdots\ f)=(a\ c\ \cdots\ d\ b\ e\cdots\ f)$,则 $N(\sigma)=N(\tau_1\cdots \tau_k)I)=(-1)^kN(I)$。