贡献者： 零穹
张量代数一文最后提到，通过将张量积作为乘法不能使得 $\mathbb T_p^0(V)$ 的对称子空间和斜对称子空间的外直和
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\mathbb T^+(V^*)=\mathbb F\oplus\mathbb T_1^+(V)\oplus\mathbb T_2^+(V)\oplus\cdots\\
&\Lambda(V^*)=\mathbb F\oplus \Lambda^1(V^*)\oplus\Lambda^2(V^*)\oplus\cdots
\end{aligned}~
\end{equation}
成为
\begin{equation}
\mathbb T(V^*)=\mathbb F\oplus\mathbb T_1^0(V)\oplus\mathbb T_2^0(V)\oplus\cdots~
\end{equation}
的子代数。这使得可以通过定义其它的乘积，使得这二者各自成为代数。对于斜对称的 $\Lambda(V^*)$，就是本节强调的重点。使 $\Lambda(V^*)$ 成为一个代数的乘法称为
外积(
wedge)，记号为 $\wedge$，它是通过交错化映射 $A$（
定义 4 ）定义的，具体便是
\begin{equation}
Q\wedge R=A(Q\otimes R)~.
\end{equation}
1. 外积
事实上，基于张量的对称化和交错化引文处提到的理由，讨论任意张量的对称性和斜对称性，与 $(0,p)$ 型或 $(p,0)$ 型没有任何区别。为了多样性起见，这里考虑 $(0,p)$，即取空间（$\Lambda^p(V)$ 的定义可见定义 6 后的段落。）
\begin{equation}
\Lambda(V)=\mathbb F\oplus \Lambda^1(V)\oplus\Lambda^2(V)\oplus\cdots~
\end{equation}
使用
定义 6 的术语，$\Lambda^p(V)$ 的元素称为 $p$ 矢量。
交错化映射 $A$ 将 $\mathbb T_0^p(V)$ 的张量映射到其上的斜对称张量子空间 $\Lambda^p(V)$ 上（定理 4 ），而 $\Lambda^p(V)$ 都是 $\Lambda(V)$ 的子空间，因此有可能通过 $A$ 定义一种乘法，使得 $\Lambda(V)$ 在该乘法下封闭。注意 $ \Lambda(V)$ 上的任意元素 $Q$ 可记作（式 6 ）
\begin{equation}
Q=\sum_{i=0}^\infty Q_i=(Q_0,Q_1,\cdots) \quad Q_i\in\Lambda^i(V)~.
\end{equation}
此时，为了让张量积不跳出 $\Lambda(V)$，我们试着用 $A$ 作用到 $\Lambda(V)$ 上任意两元素 $Q,R$ 的张量积 $Q\otimes R$ 上：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&A(Q\otimes R)=A(\sum_{k=0}^\infty h_k)=\sum_{k=0}^\infty A(h_k)~,\\
&h_k=\sum_{i=0}^k Q_i\otimes R_{k-i}\in\mathbb T_0^k(V)~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此 $A(h_k)\in \Lambda^{k}(V)$，即
\begin{equation}
A(Q\otimes R)=\sum_{k=0}^\infty A(h_k)\quad A(h_k)\in\Lambda^k(V)~.
\end{equation}
注意
式 5 ，就有 $A(Q\otimes R)\in\Lambda(V)$。
于是通过 $A(Q\otimes R)\in\Lambda(V)$ 来定义 $Q$ 和 $R$ 的乘法就得到了 $\Lambda(V)$ 上乘法的封闭性。显然，通过张量积运算的性质，$1\in\mathbb F$ 是该乘法的单位元。
定义 1 外积
对任意 $q$ 矢量 $Q$ 和 任意 $r$ 矢量 $R$，运算 $\wedge:\Lambda(V)\times\Lambda(V)\rightarrow\Lambda(V)$：
\begin{equation}
Q\wedge R=A(Q\otimes R)~
\end{equation}
称为 $\Lambda(V)$ 上的
外积运算。
定理 1 外积的性质
外积具有以下的性质：
-
\begin{equation}
\wedge:\Lambda^q(V)\times\Lambda^r(V)\rightarrow\Lambda^{q+r}(V)~.
\end{equation}
- 双线性：任意 $\alpha,\beta\in\mathbb F$，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q\wedge(\alpha R+\beta T)&=\alpha(Q\wedge R)+\beta(Q\wedge T)~,\\
(\alpha Q+\beta S)\wedge R&=\alpha (Q\wedge R)+\beta (S\wedge R)~.
\end{aligned}
\end{equation}
- 结合性：
\begin{equation}
P\wedge (Q\wedge R)=(P\wedge Q)\wedge R~.
\end{equation}
- $\forall \lambda\in\mathbb F$，都有
\begin{equation}
\lambda(Q\wedge R)=(\lambda Q)\wedge R=Q\wedge(\lambda R)~.
\end{equation}
- 任意 $x_{i_1},\cdots,x_{i_p}\in V$，满足
\begin{equation}
x_{i_{\pi 1}}\wedge\cdots \wedge x_{i\pi p}=\epsilon_\pi x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_p}~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
x_1\wedge\cdots\wedge x_p=A(x_1\otimes\cdots\otimes x_p)~.
\end{equation}
证明：1。设 $Q$ 为 $q$ 矢量，$R$ 为 $r$ 矢量，那么由定理 2 ，$Q\otimes R\in\mathbb T_0^{q+r}$。由定理 4 ，对 $\mathbb T_0^{q+r}(V)$ 上的 $A$，其像 $ \operatorname{Im} A=\Lambda ^{q+r}(V)$。于是式 9 成立。
2。由张量积和 $A$ 的线性
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q\wedge(\alpha R+\beta T)&=A(Q\wedge(\alpha R+\beta T))=A(\alpha Q\otimes R+\beta Q\otimes T)\\
&=\alpha A(Q\otimes R)+\beta A(Q\otimes T)=\alpha Q\wedge R+\beta Q\wedge T~.
\end{aligned}
\end{equation}
第 2 式同理。
3。由定理 5
\begin{equation}
\begin{aligned}
(P\wedge Q)\wedge R&=A(A(P\otimes Q)\otimes R)=A((P\otimes Q)\otimes R)\\
&=A(P\otimes (Q\otimes R))=A(P\otimes A(Q\otimes R))\\
&=P\wedge (Q\wedge R)~.
\end{aligned}
\end{equation}
4.利用张量积的运算性质（定理 2 ）和 $A$ 的线性直接得到。
5。先证 $x\wedge y=-y\wedge x,\;\forall x,y\in V$：
\begin{equation}
x\wedge y=A(x\otimes y)=\frac{1}{2}(x\otimes y-y\otimes x)~,
\end{equation}
因此
\begin{equation}
x\wedge y=-y\wedge x,\quad x\wedge x=0~.
\end{equation}
对一般情形，可由式 18 和外积的结合性证得，见例 1 。
6。当 $p=2$ 时显然成立。假设对 $p< k$ 时成立，那么由定理 5
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_1\wedge\cdots\wedge x_p&=(x_1\wedge\cdots\wedge x_{p-1})\wedge x_p=A((x_1\wedge\cdots\wedge x_{p-1})\otimes x_p)\\
&=A(A(x_1\otimes\cdots\otimes x_{p-1})\otimes x_p)=A(x_1\otimes\cdots\otimes x_{p-1}\otimes x_p)~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕！
2. 外代数
从上面知道，由 $Q \wedge R=A(Q\otimes R)$ 定义了 $\Lambda(V)$ 上的乘法运算。其满足封闭性、结合性、纯量和张量外积的补充定律（式 12 ）并且还有单位元 $1\in\mathbb F$。这就使得 $\Lambda(V)$ 成为了域 $\mathbb F$ 上的一个代数（定义 1 ）
定义 2 外代数
称域 $\mathbb F$ 上的代数 $\Lambda(V)$ 是空间 $V$ 的外代数（或格拉斯曼代数或G 代数），其上的乘法由外积 “$\wedge$”（定义 1 ）所定义。
定理 2
设 $\{e_1,\cdots,e_n\}$ 是矢量空间 $V$ 的一个基底，那么 $p$ 矢量
\begin{equation}
e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_p}~,\quad 1\leq i_1< i_2<\cdots< i_p\leq n~.
\end{equation}
组成空间 $\Lambda^p(V)$ 的一个基底。
证明：任意 $P\in\Lambda^p(V)$，正如 $\mathbb T_0^p(V)$ 中的任意元素一样，其可由表示为
\begin{equation}
P=\sum_{j_1\cdots j_p}P^{j_1\cdots j_p}e_{j_1}\otimes\cdots\otimes e_{j_p}~.
\end{equation}
由
式 22 和 $A$ 的线性性及
式 14
\begin{equation}
P=A(P)=\sum_{j_1\cdots j_p}P^{j_1\cdots j_p}A(e_{j_1}\otimes\cdots\otimes e_{j_p})=\sum_{j_1\cdots j_p}P^{j_1\cdots j_p}e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_p}~.
\end{equation}
由
式 13 ，任意 $e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_p}$ 都可按升序排序来代替，即任一 $p$ 矢量都可由形如的矢量展开。所以现在只需证明它们的线性无关即可。设
\begin{equation}
\sum_{1\leq i_1<\cdots< i_p\leq n} \lambda^{i_1\cdots i_p} e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_p}=0~.
\end{equation}
由
式 14 和
式 6
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{1\leq i_1<\cdots< i_p\leq n} \lambda^{i_1\cdots i_p} e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_p}&=\sum_{1\leq i_1<\cdots< i_p\leq n} \lambda^{i_1\cdots i_p} A(e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p})\\
&=\frac{1}{p!}\sum_{1\leq i_1<\cdots< i_p\leq n}\lambda^{i_1\cdots i_p}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_\pi(e_{i_{\pi^{-1} 1}}\otimes\cdots\otimes e_{i_{\pi^{-1} p}})\\
&=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
由定理 2 ，$e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}$ 构成 $\mathbb T_0^p(V)$ 上的一个基底。所以对不同的 $\pi$，$e_{i_{\pi^{-1} 1}}\otimes\cdots\otimes e_{i_{\pi^{-1} p}}$ 是线性无关的。所由式 24 ，只能是
\begin{equation}
\lambda^{i_1\cdots i_p}\epsilon_\pi=0\quad\Rightarrow\quad\lambda^{i_1\cdots i_p}=0~.
\end{equation}
证毕！
推论 1 $\Lambda(V)$ 的维数
空间 $V$ 的外代数 $\Lambda(V)$ 的维数是 $2^n$，同时
\begin{equation}
\dim\Lambda^p(V)=\left(\begin{aligned}
n\\p
\end{aligned}\right)~.
\end{equation}
证明：形如式 20 的 $p$ 矢量的个数等于从 $n$ 个中一次取 $p$ 个组合的个数（式 10 ），所以根据定理 2
\begin{equation}
\dim\Lambda^p(V)=\left(\begin{aligned}
n\\p
\end{aligned}\right)~.
\end{equation}
由
式 4 ，$\Lambda(V)$ 是各 $\Lambda^p(V)$ 的直和，所以
\begin{equation}
\dim\Lambda(V)=\sum_{p=0}^n\dim\Lambda^p(V)=\sum_{p=0}^n\left(\begin{aligned}
n\\p
\end{aligned}\right)=2^n~.
\end{equation}
最后一式利用了
二项式定理。
证毕！
例 1
使证明：若 $Q\in\Lambda^q(V), R\in\Lambda^r(V)$，那么
\begin{equation}
Q\wedge R=(-1)^{qr}R\wedge Q~.
\end{equation}
证明提示：由定理 2 ，可用形如
\begin{equation}
\begin{aligned}
&e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_q}~,\quad 1\leq i_1< i_2<\cdots< i_q\leq n~,\\
&e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_r}~,\quad 1\leq i_1< i_2<\cdots< i_r\leq n
\end{aligned}
\end{equation}
的式子分别将 $Q,R$ 展开。然后由
式 13 ，可将 $R$ 的展开中每一项的基底的矢量一个个和前面矢量对换到 $Q$ 的基底前，最后就得到
式 29 .