对称/反对称多线性映射
贡献者： Giacomo
1. 对称/反对称多线性映射
回忆例 5 中我们定义的 $S_k$ 置换作用，
\begin{equation}
\begin{aligned}
R_\pi: V^{\times k} &\to V^{\times k}~, \\
(v_1, \cdots, v_k) &\mapsto (v_{\pi(1)}, \cdots, v_{\pi(k)})~.
\end{aligned}
\end{equation}
未完成：将 $G$-不变映射的定义改写到 $G$-空间后更改引用
定义 1 对称多线性映射
我们称一个多线性映射 $f: V^{\times k} \to W$ 为对称多线性映射（简称对称 $k$-映射）如果它是 $S_k$-不变的（参考定义 4 ），即对任意置换 $\pi \in S_k$，
\begin{equation}
f(R_\pi(v)) = f(v)~.
\end{equation}
由于对称群 $S_k$ 由对换生成（见对称群），我们可以把它简化为，交换任意两项 $v_i, v_j$ 后函数值保持不变：
\begin{equation}
f(\cdots, v_j, \cdots, v_i, \cdots) = f(\cdots, v_i, \cdots, v_j, \cdots)~.
\end{equation}
如果 $f: V^{\times k} \to \mathbb{F}$ 是一个多线性型（多线性函数），我们称它为对称多线性型。
未完成：例子：内积
定义 2 反对称多线性映射
类似的我们可以定义的反对称多线性映射（简称反对称 $k$-映射）$f: V^{\times k} \to W$ 如果它满足 $\pi \in S_k$，
\begin{equation}
f(R_\pi(v)) = \operatorname {sgn}(g) f(v)~.
\end{equation}
其中对于偶置换 $ \operatorname {sgn}{\sigma} = 1$、奇置换 $ \operatorname {sgn}{\sigma} = -1$；由于对称群的性质，我们可以把它简化为，交换任意两项 $v_i, v_j$ 后函数值相反：
\begin{equation}
f(\cdots, v_j, \cdots, v_i, \cdots) = - f(\cdots, v_i, \cdots, v_j, \cdots)~.
\end{equation}
如果 $f: V^{\times k} \to \mathbb{F}$ 是一个多线性型（多线性函数），我们称它为反对称多线性型。
反对称亦称斜对称、交错的。