欧拉角

贡献者： addis

预备知识 1　三维旋转矩阵

1. zyz 欧拉角与旋转矩阵

　　为了书写方便，把 $\sin x, \cos x$ 记为 $C_{x}, S_{x}$ 。则 $z$ - $y$ - $z$ 欧拉角 $ψ, θ, ϕ$ 对应的旋转矩阵就是

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} R (ψ, θ, ϕ) & = R_{z} (ϕ) R_{y} (θ) R_{z} (ψ) \\ = (\begin{array}{c} C_{ϕ} & - S_{ϕ} & 0 \\ S_{ϕ} & C_{ϕ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} C_{θ} & 0 & S_{θ} \\ 0 & 1 & 0 \\ - S_{θ} & 0 & C_{θ} \end{array}) (\begin{array}{c} C_{ψ} & - S_{ψ} & 0 \\ S_{ψ} & C_{ψ} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} C_{ϕ} C_{θ} C_{ψ} - S_{ϕ} S_{ψ} & - C_{ϕ} C_{θ} S_{ψ} - S_{ϕ} C_{ψ} & C_{ϕ} S_{θ} \\ S_{ϕ} C_{θ} C_{ψ} + C_{ϕ} S_{ψ} & - S_{ϕ} C_{θ} S_{ψ} + C_{ϕ} C_{ψ} & S_{ϕ} S_{θ} \\ - S_{θ} C_{ψ} & S_{θ} S_{ψ} & C_{θ} \end{array}) \end{aligned} \end{matrix}

其中

θ, ϕ

就是球坐标系中的两个角。

预备知识 2　刚体的瞬时转轴、角速度的矢量相加

　　由于角速度可以矢量叠加，角速度矢量为

\begin{matrix} (2) & ω = \dot{ψ} \hat{r} + \dot{θ} \hat{ϕ} + \dot{ϕ} \hat{z} = (\dot{ψ} + \dot{ϕ} \cos θ) \hat{r} - \dot{ϕ} \sin θ \hat{θ} + \dot{θ} \hat{ϕ} . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \dot{ψ} = ω_{r} + ω_{θ} \cot θ, \dot{θ} = ω_{ϕ}, \dot{ϕ} = - \frac{ω_{θ}}{\sin θ} . \end{matrix}