欧拉角
贡献者： addis
1. zyz 欧拉角与旋转矩阵
为了书写方便，把 $\sin x, \cos x$ 记为 $C_x, S_x$。则 $z$-$y$-$z$ 欧拉角 $\psi,\theta,\phi$ 对应的旋转矩阵就是
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{R}} (\psi,\theta,\phi) &= \boldsymbol{\mathbf{R}} _z(\phi) \boldsymbol{\mathbf{R}} _y(\theta) \boldsymbol{\mathbf{R}} _z(\psi)\\
&=
\begin{pmatrix}
C_\phi & - S_\phi & 0\\
S_\phi &C_\phi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
C_\theta & 0 & S_\theta\\
0 & 1 & 0\\
-S_\theta & 0 & C_\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
C_\psi & - S_\psi & 0\\
S_\psi &C_\psi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
C_\phi C_\theta C_\psi-S_\phi S_\psi & -C_\phi C_\theta S_\psi - S_\phi C_\psi & C_\phi S_\theta\\
S_\phi C_\theta C_\psi + C_\phi S_\psi & -S_\phi C_\theta S_\psi + C_\phi C_\psi & S_\phi S_\theta\\
-S_\theta C_\psi & S_\theta S_\psi & C_\theta\end{pmatrix}
\end{aligned}~
\end{equation}
其中 $\theta,\phi$ 就是
球坐标系中的两个角。
2. 角速度和时间导数
由于角速度可以矢量叠加，角速度矢量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\omega}}
= \dot\psi \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} + \dot\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
= (\dot\psi + \dot\phi\cos\theta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \dot\phi\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} +
\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\dot\psi = \omega_r + \omega_\theta \cot\theta,\qquad
\dot\theta = \omega_\phi,\qquad
\dot\phi = -\frac{\omega_\theta}{\sin\theta}~.
\end{equation}