戴森级数
贡献者： certain_pineapple
1. 戴森级数
考虑时间演化算符所满足的微分方程式：
\begin{equation}
i\hbar \frac{d}{dt}\hat U (t,t_0) = \hat H(t) \hat U (t,t_0)~.
\end{equation}
将其转化为积分方程，且考虑 $\lim\limits_{t\rightarrow t_0}\hat U(t,t_0)=\hat I$，则有：
\begin{equation}
\hat U (t,t_0) =\hat I - \frac{i}{\hbar}\int^t_{t_0} \hat H(t_1) \hat U (t_1,t_0)dt_1~.
\end{equation}
将 $\hat{U}$ 不断迭代，则有:
\begin{align}
\hat U (t,t_0) &=\hat I - \frac{i}{\hbar}\int^t_{t_0} \hat H(t_1) \hat U (t_1,t_0)dt_1 \\
&=\hat I - \frac{i}{\hbar}\int^t_{t_0} \hat H(t_1) dt_1 - (\frac{i}{\hbar})^2\int^t_{t_0}\int^{t_1}_{t_0} \hat H(t_1)H(t_2) \hat U (t_1,t_0)dt_2 dt_1 \\
&= \cdots \\
&=\hat I +\sum\limits^{\infty}\limits_{n=1}(-\frac{i}{\hbar})^n\int^{t}_{t_0}\int^{t_1}_{t_0}\cdots\int^{t_{n-1}}_{t_0}H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)dt_n\cdots dt_2dt_1 ~,
\end{align}
上式即被称为戴森级数。
2. 时序算符
考虑算符 $\hat T$，其作用为： $$\hat T\hat H(t_1)\hat H(t_2)= \left\{\begin{aligned} \hat H(t_1)\hat H(t_2) , t_1>t_2& \\ \hat H(t_2)\hat H(t_1) , t_1 \leq t_2 \end{aligned}\right. ~, $$
显然有 $\hat TH(t_1)H(t_2)=\hat TH(t_2)H(t_1)$。
图 1：积分区域示意图
参考图 1 中的方法（蓝色区域中积分式中的等号来自于更改了积分次序，从最开始的先积分 $t_2$ 后积分 $t_1$ 改为先积分 $t_1$ 后积分 $t_2$），此处 $f(t_1, t_2) = \hat T \hat H(t_1)\hat H(t_2)$，可以写出：
\begin{align}
\int^t_{t_0}\int^{t}_{t_0}\hat T\hat H(t_1)\hat H(t_2)dt_1dt_2 &=
\int^t_{t_0}\int^{t_2}_{t_0}\hat T\hat H(t_1)\hat H(t_2)dt_1dt_2+\int^t_{t_0}\int^{t_1}_{t_0}\hat T\hat H(t_1)\hat H(t_2)dt_2dt_1 \\
&= 2\int^t_{t_0}\int^{t_1}_{t_0}\hat H(t_1)\hat H(t_2)dt_2dt_1~.
\end{align}
同时：
\begin{align}
\int^t_{t_0}\int^{t}_{t_0}\hat T\hat H(t_1)\hat H(t_2)dt_1dt_2 &= \hat T\int^t_{t_0}\int^{t}_{t_0}\hat H(t_1)\hat H(t_2)dt_1dt_2 \\&= \hat T\int^{t}_{t_0}\hat H(t_1)dt_1\int^t_{t_0}\hat H(t_2)dt_2\\&=\hat T\left[\int^t_{t_0}\hat H(t_0)dt_0\right]^2 ~,
\end{align}
此结论不仅局限为两个哈密顿量相乘的项 $\hat H$ 的作用始终为将哈密顿量按其时间综量大小排序。
由此可以将戴森级数写成：
\begin{align}
\hat U (t,t_0) &=\hat I +\sum\limits^{\infty}\limits_{n=1}(-\frac{i}{\hbar})^n\int^{t}_{t_0}\int^{t_1}_{t_0}\cdots\int^{t_{n-1}}_{t_0}H(t_1)H(t_2)\cdots H(t_n)dt_n\cdots dt_2dt_1 \\
&=\hat I +\hat T \sum\limits^{\infty}\limits_{n=1}\frac{1}{n!}(-\frac{i}{\hbar})^n \left[\int^t_{t_0}\hat H(t_0)dt_0\right]^n \\
&=\hat T \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int^t_{t_0}\hat H(t_0)dt_0\right) ~.
\end{align}