主应力

                     

贡献者： ACertainUser

预备知识　应力

1. 主应力

　　1假设有一个受力状况相对复杂的二维微元体。我们能不能改变划分微元体的方式，从而简化他的受力？

图
图 1：二维微元体.仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

　　 答案难得的是。..可以的。在一点处，我们总能够找到一种选取微元体的方式，使其只受正应力而不受切应力。此时，这些正应力也被称为主应力（Principal Stress）。这个结论同时适用于二维与三维的微元体。

图
图 2：改变选取微元体的方式，使其只受正应力而不受切应力。仿自 P. Beer 的 Mechanics of Materials

　　 某种意义上，主应力比单纯的应力更具有代表性。应力的数值与微元体的选取方式有关，而主应力的数值则与之无关。同时，主应力减少了变量个数：在二维情况下，由应力的 3 个分量减少为了主应力的 2 个；而三维情况下，由 6 个分量减少为了 3 个。

2. 计算主应力

　　

未完成：需要补充证明
未完成：Mohr 圆

　　 那么，你现在想问的问题大概一定是：如果已知微元体的受应力情况，那么如何计算主应力呢？事实上，主应力就是应力矩阵的本征值。计算一个应力矩阵本征值，就能得到他的主应力。因此主应力的求解是公式化的、不需要太多灵性。

例 1　二维微元体的主应力

　　 对于二维情况，主应力就是方程 $$\sigma_p^2+(\sigma_x+\sigma_y)\sigma_p+\sigma_x\sigma_y-\tau^2=0~$$ 的两个根，即 $$\sigma_p=\frac{\sigma_x+\sigma_y \pm \sqrt{(\sigma_x-\sigma_y)^2+4\tau^2}}{2}~,$$ $\sigma_x,\sigma_y,\tau$ 是相应微元体的应力。

例 2　三维微元体的主应力

　　 对于三维情况，主应力是方程 $$ \sigma_p^3-I_1\sigma_p^2-I_2\sigma_p-I_3=0~ $$ 的三个根，其中 $$ \begin{aligned} I_1&=tr(\sigma)~,\\ I_2&=\frac{1}{2} ({\sum \sum \sigma_{ij} \sigma_{ij} -I_1^2})~,\\ I_3&=det(\sigma)~.\\ \end{aligned} $$ $\sigma$ 是相应的应力矩阵，$\sum \sum \sigma_{ij} \sigma_{ij}=\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2+...$ 是应力矩阵各项平方的和。

　　 你可以从刚体的静力平衡条件出发来验证这些结论。不过，思考与计算过程会相对繁琐。

1. ^ 本文参考自 P. Beer 的 Mechanics of Materials 与郑泽邦的《金属学》课件

                     

© 小时科技 保留一切权利