贡献者： addis
若一个经典力学系统某时刻的状态完全由 $N$ 个独立的广义坐标 $q_1\dots q_N$ 描述（以下把 $q_1\dots q_N$ 记为 $\{q_i\}$），那么可以把 $\{q_i\}$ 看做是 $N$ 维空间中的一点，这个空间叫做位形空间（configuration space）。系统变化的过程可以看做位形空间中的一点随时间变化而走出的轨迹（trajectory）。若该轨迹 $\{ {{q_i}(t)} \}$ 已知，可定义 $t_1$ 与 $t_2$ 之间系统的作用量（action）为
\begin{equation}
S[\{q_i(t)\}] = \int_{t_1}^{t_2} L[\{q_i(t)\}, \{\dot q_i(t)\}, t] \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
注意 $\dot q_i(t)$ 代表 $q_i(t)$ 对时间求导，所以以下讨论中我们要求所有函数 $q_i(t)$ 必须在 $[t_1, t_2]$ 区间处处可导。其中 $L$ 是拉氏量（
式 2 ）。
我们想要探究这么一个问题：当我们固定轨迹的起点和终点，即预先规定 $t_1, t_2$ 时刻每个 $q_i(t)$ 的值，这时候取什么样的轨迹才能使作用量 $S$ 取得最小值或者最大值呢？
这个问题和求一元函数的极值有些相似，事实上我们并不能一步到位找到 “最值”，而是需要先求出若干个 “极值” 或 “驻点”，然后在这些解中进一步选取最大值或最小值。类比过来，泛函的极值是指上述轨迹发生微小改变（但两个端点保持不变）时泛函的值几乎不变（即小于一阶无穷小）。
我们可以把 $S[\{q_i(t)\}]$ 看成某种广义的函数，显然这个函数的函数值是一个实数，但自变量却不直接是 $N$ 个实数，而是 $N$ 个实函数 $q_i(t)$。我们把这种函数的函数叫做泛函（functional）。数学专业中，讨论泛函的课程叫做泛函分析（functional analysis）。
爱尔兰数学家威廉·哈密顿（William Hamilton）意识到，要求经典力学系统的演化（即位形空间中的轨迹），除了通过牛顿三定律，也可以通过求作用量 $S$ 的极值得出1。我们把这叫做哈密顿原理（Hamilton's principle）。哈密顿原理也被称为最小作用量（least action）原理2。
定理 1 哈密顿原理
若一个经典力学系统在 $t_1$ 和 $t_2$ 时刻的坐标分别为 $\{q_i(t_1)\}$ 和 $\{q_i(t_2)\}$，那么在这段时间内所有连接这两点的轨迹中，只有一个能使作用量 $S$ 取最值，而这个轨迹就是该系统真实演变的轨迹。
在下面的推导中我们将看到，要求这个轨迹，只需要求解拉格朗日方程式 1 即可
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} \qquad
(i = 1\dots N)~.
\end{equation}
1. 由哈密顿原理导拉格朗日方程
假设满足哈密顿原理的轨迹为 $\{q'_i(t)\}$，为了让轨迹发生微小改变，现取一个变量 $\alpha$ 及任意 $N$ 个一阶可导实函数 $\{\eta_i(t)\}$，令 $q_i(t,\alpha ) = q'_i(t) + \alpha \eta_i(t)$。由于 $\alpha$ 变化的过程中仍然要保持初末时刻的 $q_i$ 不变，$\eta_i(t)$ 必须满足 $\eta_i(t_1) = \eta_i(t_2) = 0$。
现在拉格朗日量最终是 $t$ 和 $\alpha$ 的函数，而作用量则完全是 $\alpha$ 的函数。
根据哈密顿原理，在 $\alpha = 0$ 处有 $ \mathrm{d}{S}/\mathrm{d}{\alpha} = 0$。为书写方便，以下所有对 $\alpha$ 的（偏）导数都默认在 $\alpha=0$ 时求得。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{S}}{\mathrm{d}{\alpha}} = \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial}{\partial{\alpha}} L[\{q_i(t,\alpha )\}, \{\dot q_i(t,\alpha)\}, t] \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
注意 $\alpha$ 在时间积分中只是参数，所以可以置换偏导和积分的顺序。这里使用偏导是为了强调求导时保持 $t$ 不变。使用偏导的
链式法则有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{S}}{\mathrm{d}{\alpha}} =
\sum_i \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q_i} \frac{\partial q_i}{\partial \alpha} + \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \frac{\partial^2 q_i}{\partial \alpha \partial t} \right] \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{aligned} \end{equation}
对第二项使用
分部积分得
\begin{equation}
\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \frac{\partial^2 q_i}{\partial \alpha \partial t} \,\mathrm{d}{t} = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \frac{\partial q_i}{\partial \alpha} \right\rvert _{t = t_1}^{t = t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right) \frac{\partial q_i}{\partial \alpha} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
其中 $ \partial q_i/\partial \alpha = \eta_i$，在 $t_1, t_2$ 时刻都为 0，第一项消失。代入
式 4 得
\begin{equation}
\sum_i \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right) \right] \eta_i(t) \,\mathrm{d}{t} = 0~.
\end{equation}
由于 $\eta_i(t)$ 可以任取，方括号内为零。要证明这点只需取 $\eta_i(t) = \delta_{ij}\delta(t - t')$ 代入即可。于是我们得到拉格朗日方程组
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} \qquad
(i = 1\dots N)~.
\end{equation}
1. ^ 这有些类似于几何光学中的费马定理，可以代替反射和折射定律
2. ^ “最小” 只是习惯的叫法，极值可以是极小值，极大值或鞍点。