洛伦兹力

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识 1　磁场，几何向量的叉乘

图 1：洛伦兹力示意图。图中

B

指向纸面内

　　磁场 $B$ 中，电荷为 $q$ ，以速度 $v$ 运动的点电荷受到的洛伦兹力通过叉乘定义

\begin{matrix} (1) & F = q v \times B . \end{matrix}

即洛伦兹力与速度和磁场的方向垂直，大小等于

q v B

乘以速度与磁场夹角的正弦值。可见当速度与磁场垂直时洛伦兹力最大，平行时没有洛伦兹力。

1. 磁场对电荷不做功

　　由于任意时刻，磁场力的方向垂直于运动方向，所以静磁场不对电荷做功（类比向心力不对圆周运动做功），证明如下。洛伦兹力的瞬时功率为

\begin{matrix} (2) & P = F \cdot v = q v \times B \cdot v . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & v \times B \cdot v = v \times v \cdot B = 0, \end{matrix}

因为矢量叉乘本身等于 0。

预备知识 2　极限

　　 广义上的洛伦兹力 是指电磁场给电荷施加的所有作用力，即电场力加洛伦兹力。麦克斯韦方程组描述了由电荷的分布及运动情况如何计算电磁场，而广义洛伦兹力则解释了已知电磁场分布如何计算电荷的受力。

　　对于点电荷

\begin{matrix} (4) & F = q (E + v \times B) . \end{matrix}

对于连续的电荷分布，上式可写为积分形式

\begin{matrix} (5) & \int f d V = \int ρ (E + v \times B) d V . \end{matrix}

由于该公式对任意体积都成立，因此

\begin{matrix} (6) & f = ρ (E + v \times B), \end{matrix}

其中

ρ

是单位体积电荷密度，

f

是单位体积电荷的受力密度，可用极限的方法定义为无穷小体积的受力除以该体积

\begin{matrix} (7) & f = lim_{V \to 0} \frac{F}{V} . \end{matrix}