洛伦兹力

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识 1　磁场，几何向量的叉乘

图 1：洛伦兹力示意图。图中 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 指向纸面内

　　磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中，电荷为 $q$，以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动的点电荷受到的洛伦兹力通过叉乘定义

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = q \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{equation}

即洛伦兹力与速度和磁场的方向垂直，大小等于 $qvB$ 乘以速度与磁场夹角的正弦值。可见当速度与磁场垂直时洛伦兹力最大，平行时没有洛伦兹力。

1. 磁场对电荷不做功

　　由于任意时刻，磁场力的方向垂直于运动方向，所以静磁场不对电荷做功（类比向心力不对圆周运动做功），证明如下。洛伦兹力的瞬时功率为

\begin{equation} P = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = q\, \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ~. \end{equation}

由矢量混合积的运算

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~, \end{equation}

因为矢量叉乘本身等于 0。

2. 广义洛伦兹力

预备知识 2　极限

　　 广义上的洛伦兹力 是指电磁场给电荷施加的所有作用力，即电场力加洛伦兹力。麦克斯韦方程组描述了由电荷的分布及运动情况如何计算电磁场，而广义洛伦兹力则解释了已知电磁场分布如何计算电荷的受力。

　　对于点电荷

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = q ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )~. \end{equation}

对于连续的电荷分布，上式可写为积分形式

\begin{equation} \int \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{V} = \int \rho( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \,\mathrm{d}{V} ~. \end{equation}

由于该公式对任意体积都成立，因此

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = \rho( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )~, \end{equation}

其中 $\rho$ 是单位体积电荷密度，$ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 是单位体积电荷的受力密度，可用极限的方法定义为无穷小体积的受力除以该体积

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = \lim_{V \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{V}~. \end{equation}