乘积空间
贡献者： 叶月2_; Giacomo
我们可以在向量空间的笛卡尔积上规定向量的数乘和加法，使得它也是一个向量空间，称为乘积空间。
定义 1 乘积空间
给定域 $\mathbb F $ 上的线性空间 $U$ 与 $V$，定义 $U\times V=\{(u, v)|u \in U, v \in V\}$ 上的数乘和加法运算为：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
a \cdot (u, v) &= (a \cdot u, a \cdot v), \quad \forall a \in \mathbb F\\
(u_1, v_1) + (u_2, v_2) &= (u_1 + u_2, v_1 + v_2)
\end{aligned}\right.~
\end{equation}
根据该定义，我们容易验证积空间在数乘和加法下封闭。
1. 乘积空间的维度
若令 $\{x_i\}^r_{i=1}$ 和 $\{y_i\}^s_{i=1}$ 分别为 $U$ 与 $V$ 的基，我们也容易验证 $\{(x_i, 0)\}^r_{i=1}\cup \{(0, y_i)\}^s_{i=1}$ 为乘积空间的一组基。
未完成：证明
定理 1 乘积空间的维度
给定域 $\mathbb F $ 上的线性空间 $U$ 与 $V$，
$$
\dim(U \times V) = \dim(U) + \dim(V)~.
$$
2. 乘积空间与直和空间
对于乘积空间 $U \times V$，我们定义两个子空间
$$
\begin{aligned}
\tilde{U}: &= U \times \{0\} , \\
\tilde{V}: &= \{0\} \times V ,
\end{aligned}~
$$
可以证明 $\tilde{U} \oplus \tilde{V} = U \times V$。
这也是为什么乘积空间也被称为外直和的原因。
未完成：反过来我们也可以从一个向量空间的两个子空间开始解释这个现象