乘积空间

贡献者：叶月2_; Giacomo

预备知识　直和与补空间（线性空间），

　　我们可以在向量空间的笛卡尔积上规定向量的数乘和加法，使得它也是一个向量空间，称为乘积空间。

　　给定域 $F$ 上的线性空间 $U$ 与 $V$ ，定义 $U \times V = {(u, v) | u \in U, v \in V}$ 上的数乘和加法运算为：

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} a \cdot (u, v) & = (a \cdot u, a \cdot v), \forall a \in F \\ (u_{1}, v_{1}) + (u_{2}, v_{2}) & = (u_{1} + u_{2}, v_{1} + v_{2}) \end{aligned} \end{matrix}

　　根据该定义，我们容易验证积空间在数乘和加法下封闭。

1. 乘积空间的维度

　　若令 ${x_{i}}_{i = 1}^{r}$ 和 ${y_{i}}_{i = 1}^{s}$ 分别为 $U$ 与 $V$ 的基，我们也容易验证 ${(x_{i}, 0)}_{i = 1}^{r} \cup {(0, y_{i})}_{i = 1}^{s}$ 为乘积空间的一组基。

未完成：证明

　　给定域 $F$ 上的线性空间 $U$ 与 $V$ ， $\dim (U \times V) = \dim (U) + \dim (V) .$

　　对于乘积空间 $U \times V$ ，我们定义两个子空间 $\begin{aligned} \tilde{U} : & = U \times {0}, \\ \tilde{V} : & = {0} \times V, \end{aligned}$

　　可以证明 $\tilde{U} \oplus \tilde{V} = U \times V$ 。

　　这也是为什么乘积空间也被称为外直和的原因。

未完成：反过来我们也可以从一个向量空间的两个子空间开始解释这个现象