库仑规范（量子力学）
贡献者： addis
预备知识 电磁场中的单粒子薛定谔方程
，库仑规范（电动力学）
1规范不变的哈密顿量为（式 1 ）
\begin{equation}
H = \frac{1}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 + q\varphi + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
库仑规范推导起来较为简单，用角标 $C$ 表示库仑规范，则矢势满足 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C = 0$，标势 $\varphi_C$ 满足（式 5 ）
\begin{equation}
\varphi_C( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}^{3}{r'} ~.
\end{equation}
但原子核的库仑势能一般包含在
式 1 的 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 而不是 $\varphi$ 中（根据
子节 3 这没问题，其实包含在 $\varphi$ 中也没问题），空间中也无其他电荷，所以有（
式 6 ，
式 7 ）
\begin{equation}
\varphi_C \equiv 0~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} (t) = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _C}{\partial t} ~.
\end{equation}
结合矢量算符法则式 3 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \Psi) = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C) \Psi + \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla \Psi) = \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla \Psi)~,
\end{equation}
所以
式 1 （
式 3 ）简化为
\begin{equation}
H_L = -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + \mathrm{i} \frac{q}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} _C^2~.
\end{equation}
1. ^ 本文参考 [1]。
[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed