基尔霍夫电路定律

                     

贡献者： FFjet; addis

1. 定律阐述

证明

　　 考虑电路的某节点，跟这节点相连接有 $n$ 个支路。假设进入这节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则这节点的总电流 $I$ 等于流过支路 $k$ 的电流 $I_k$ 的代数和：

将这方程式对某段时间 $[t_1,t_2]$ 内积分，可以得到这段时间该节点电荷的增加 其中 $q={\int }_{t_1}^{t_2}I(t)\mathrm{d}t$，$q_k={\int }_{t_1}^{t_2}{I}_k(t)\mathrm{d}t$ 是流过支路 $k$ 的电荷。

　　 若 $q>0$，则说明有正电荷会累积于该节点，$q<0$ 表示负电荷会累积于节点。在讨论电路时，我们一般假设任意一点不存在净电荷，所以 $q$ 和 $I$ 都恒为零。

　　 电路中有 $n$ 个节点的时候，一共有 $n-1$ 个节点方程是独立的。这 $n-1$ 个独立方程构成基尔霍夫第一方程组。将它们与基尔霍夫第二方程组联立后，可以根据已知电动势及电阻求得每一支路的电流。

证明

　　 根据电势差的定义（式 1 ）

如果令路径起点为 ${\mathbf{r}}_1$，终点为 ${\mathbf{r}}_N$，中途有若干点 ${\mathbf{r}}_2,\dots ,{\mathbf{r}}_{N-1}$。那么有可以将路径积分划分为若干段，总电势差等与每段电势差之和 其中 $U_{j,I}=-{\int }_{{\mathbf{r}}_i}^{{\mathbf{r}}_j}{\mathbf{E}}_0(\mathbf{r})\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathbf{r}$。 如果取一个环路作为积分路径，起点终点相接，电势差为零。即 ${\mathbf{r}}_1={\mathbf{r}}_N$，$U_{N1}=0$。立即可得式 5 。证毕。

　　 一个电路可以包含许多回路，但它们的方程并非都是独立的。如下图电路所示：$A{R}_{2}B{R}_{1}A$、$A{R}_{3}B{R}_{2}A$ 及 $A{R}_{3}B{R}_{1}A$。

　　 前两个回路的方程显然独立，因为每个回路都包含一条另一回路所不包含的支路。但第三个回路的方程就不独立，它可由前两个方程推出。电路中所有独立的回路方程构成基尔霍夫第二方程组。为了列出独立的回路方程，可以选择这样的回路，其中每个至少包含一条其他回路所不包含的支路。一个完整电路的支路数 $b$、节点数 $n$ 和独立回路数 $m$ 之间的关系为

　　 如果全部电动势及电阻皆已知，则电路共有 $b$ 个未知的支路电流。另一方面，由前述可知，这个电路必有 $n-1$ 个独立的节点方程及 $m$ 个独立的回路方程，即共有 $m+n-1$ 个独立方程，恰与未知量个数 $b$ 相等，因此可唯一地解出各支路电流。当然，除支路电流外，电动势或电阻也可作为未知量，只要未知量个数为 $b$，同样可以求解。可见基尔霍夫方程组原则上可以解决一切线性直流电路的计算问题。

　　 当电动势是待求量而且连电源的极性也未知时，可以任意地给电动势选定一个正方向（即假设一对正、负极，电动势的正方向是指从假设的负极到正极的方向），并把电动势作为代数量列出基氏第二方程，方程中 $\mathcal{E}$ 前的 $+$、$-$ 号应根据绕行方向是否进入假设的负极来决定。求解后，如果 $\mathcal{E}>0$，则实际极性与假设极性相同，否则相反。

2. 定律应用

　　 首先，根据上节所述，可以总结出用基尔霍夫方程组解题的步骤如下：

1. 任意选定各支路电流的正方向；
2. 数出节点数 $n$，任取其中 $n-1$ 个写出 $n-1$ 个节点方程；
3. 数出支路数 $b$，选定 $m=b-n+1$ 个独立回路，任意指定每个回路的绕行方向，列出 $m$ 个回路方程；
4. 对所列的 $(n-1)+(b-n+1)=b$ 个方程联立求解；
5. 根据所得电流值的正负判断各电流的实际方向。

　　 下面来看几道具体的电路例题。