电阻、欧姆定律、电阻率、电导率

                     

贡献者： addis; ACertainUser; FFjet

　　¹电阻器（resistor）是电路中常见的元件。该元件通常由一个参数，电阻（resistance），来衡量。在不至于混淆的情况下，也可以把电阻器简称为电阻。

　　 理想情况下，电阻器符合欧姆定律（Ohm's law）

其中 $U$ 是电阻器两端的电压（电流流入的一端电势较高），$I$ 是流经电阻器的电流，$R$ 是电阻器的电阻（$R>0$）。

1. 被动符号规定

　　 在电路中，一种常见的符号规定是给电路中的每一条支路预先定义一个正方向，若电流延正方向流动，那么电流为正，反之为负。若电势延正方向降低，则电压为正，反之为负。这种规定叫做被动符号规定（passive sign convention），因为当功率 $W=IU$ 为正时，元件从电路中获取能量。

　　 欧姆定律的式 1 可以按被动符号规定来理解：如图 2 ，如果规定电阻所在的电路支路从左到右为正，那么当电流从左向右流时，$I>0$，从右到左时 $I<0$；电压 $U_{AB}=U_A-U_B$，即当电势左高右低时取正值，反之取负值。

　　 由于 $R>0$，所以根据式 1 ，$I,U$ 的符号始终相同，所以电阻从电路中获得的功率为 $W=IU>0$。

2. 电阻率

　　 作为一个理想模型，柱形（例如长方体，圆柱体）电阻器的电阻为

其中 $S$ 为电阻的横截面积，$L$ 为电阻的长度，$\varrho$ 为材料的电阻率（electrical resistivity）。该公式假设内部电流密度处处相等且于柱体平行。电阻率体现了材料电阻能力，和材料性质有关，也可能会随温度，压强，光照（例如光敏电阻），等环境因素变化。我们也通常把电阻率的倒数 $1/\varrho$ 叫做电导率（electrical conductivity）。

　　 微观形式的欧姆定律为

这个公式告诉我们，电阻材料中某点的电流密度与电场成正比。

3. 电阻的简单模型

　　 我们这里用一个简单的经典力学模型推导上文中的概念和公式，但严格来说，这个推导需要使用量子力学和半导体理论。假设一段电阻中，自由电子的电荷密度为 $-\rho$（$\rho >0$）为定值。

　　 当我们在电阻两端施加电压时，内部会产生匀强电场，

使电子受到电场力 同时，电子还受到一个源于电子与导体缺陷碰撞的阻力，其大小与电子速度成正比，即 $\alpha$ 即比例系数，总有 $\alpha >0$

　　 电子在该电场力下加速（由于电子质量很小，加速过程很快，可以假设是一瞬间完成的），直到阻力等于电场力时加速停止，进行匀速运动。于是有

所以电阻内电流密度大小为 电流大小为 代入式 4 我们定义电阻率为 然后再根据电阻率定义电阻为 可见它与长度 $L$ 成正比，与横截面成反比。将式 11 代入式 12 再代入式 10 ，可得欧姆定律 式 8 也可以使用电阻率记为 这相当于欧姆定律的微观形式。

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1. ^ 参考 Wikipedia 的 Resistor 和 Ohm's law 页面。