反函数求导（极简微积分）

贡献者： addis

预备知识 1　基本初等函数的导数

　　若已知 $f(x)$ 在某个区间上存在反函数 $f^{-1}(x)$，且二者都在各自的区间上可导，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 的导函数可以用以下公式计算

\begin{equation} (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} ~. \end{equation}

为了消除上式可能产生的歧义，记 $f(x)$ 的导函数为 $h(x)$， $f(x)$ 的反函数为 $g(y)$。上式变为

\begin{equation} g'(y) = \frac{1}{h(g(y))}~. \end{equation}

例 1　

　　在区间 $[0, \infty)$ 上，令函数 $f(x) = x^2$，那么反函数为 $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$，其定义域就是 $f(x)$ 所有可能的值的区间 $[0, \infty)$。显然，二者在各自的区间上都是处处可导的。已知 $f'(x) = 2x$（式 7 ），带入式 1 得反函数的导数为

\begin{equation} (f^{-1}(y))' = \frac{1}{2\sqrt{y}} \qquad (y \ge 0)~, \end{equation}

我们也可以通过直接对 $\sqrt{y} = y^{1/2}$ 求导来验证这一结果的正确性。

反函数存在的条件

　　令满足上述条件的某函数和反函数分别为 $f(x)$， $g(x)$，在有定义的区间内的任何一对满足 $y = f(x)$ 的 $x$， $y$ 都满足 $g(y) = x$，则 $g(y)$ 是 $f(x)$ 的反函数。

　　只有函数 $y = f(x)$ 在某个区间内连续且单调时才可能存在反函数。例如例 1 中若令 $f(x)$ 的定义域为所有实数，那么每个 $y > 0$ 就对应两个不同的 $x$，从而产生歧义。

1. 推导

预备知识 2　一元函数的微分、微分近似（极简微积分）

图 1：在同一点处，$f'= \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $，$g'= \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{y} $，互为倒数

未完成：反函数 $x = f(y)$ 可以把图像翻折一下看，把该图变为左右两个，关于虚线对称

根据导数和微分的关系，$y = f(x)$ 在曲线上的某点 $(x_0, y_0)$，有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = f'(x_0) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

同一点也满足 $g(y_0) = x_0$，且

\begin{equation} g'(y_0) \,\mathrm{d}{y} = \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

对比式 4 和式 5 ，得

\begin{equation} g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'(x_0)}~, \end{equation}

可见图 1 曲线上同一点处 $f'$ 和 $g'$ 互为倒数。把 ${x_0} = g(y_0)$ 代入上式，得

\begin{equation} g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'(g(y_0))}~. \end{equation}

上式中，$y_0$ 可以是 $g$ 函数定义域的任意一点，所以

\begin{equation} g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}~. \end{equation}

或者用习惯上的 $x$ 作为自变量，得

\begin{equation} g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}~, \end{equation}