无限深圆形势阱

贡献者： addis

预备知识　定态薛定谔方程，柱坐标中的亥姆霍兹方程

图 1：量子围栏：在金属表面上，用单个原子围成的圆形量子中，扫描隧道显微镜检测到的电子波函数

\begin{matrix} (1) & - \frac{1}{2 m} \nabla^{2} ψ (r) = E ψ (r) . \end{matrix}

令

k = \sqrt{2 m E}

，得到标准形式的亥姆霍兹方程

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} ψ (r) = - k^{2} ψ (r) . \end{matrix}

使用分离变量法，角向波函数为

\begin{matrix} (3) & Θ_{m_{z}} (θ) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i m_{z} θ} . \end{matrix}

径向方程为式 6 （

l = 0

，

x = k r

）

\begin{matrix} (4) & x \frac{d}{d x} (x \frac{d y}{d x}) + (x^{2} - m_{z}^{2}) y = 0, \end{matrix}

所以径向波函数为

\begin{matrix} (5) & R_{m_{z}} (r) = J_{m_{z}} (k r) . \end{matrix}

从物理上来看，能量分为角速度产生的能量以及径向速度产生的能量，角动量已经由

m_{z}

固定，所以

r \to 0

时角速度产生的能量占主导，

J_{m_{z}} (k r)

的局部波长变长，而

r \to \infty

时径向速度几乎占据所有能量，这时

J_{m_{z}} (k r)

的局部波数趋近于

k

。

　　再考虑到边界条件要求 $R_{m_{z}} (a) = 0$ ，可以得到每个能级的 $k_{n}$ ， $E_{n} = k_{n}^{2} / 2$ 。波函数的正交性也可以从贝塞尔函数对应的正交归一性质得到。