无限深圆形势阱

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　定态薛定谔方程，柱坐标中的亥姆霍兹方程

图 1：量子围栏：在金属表面上，用单个原子围成的圆形量子中，扫描隧道显微镜检测到的电子波函数

\begin{equation} -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = E\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~. \end{equation}

令 $k = \sqrt{2mE}$，得到标准形式的亥姆霍兹方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = -k^2\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~. \end{equation}

使用分离变量法，角向波函数为

\begin{equation} \Theta_{m_z}(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{im_z \theta}~. \end{equation}

径向方程为式 6 （$l = 0$，$x = kr$）

\begin{equation} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m_z^2)y = 0~, \end{equation}

所以径向波函数为

\begin{equation} R_{m_z}(r) = J_{m_z}(kr)~. \end{equation}

从物理上来看，能量分为角速度产生的能量以及径向速度产生的能量，角动量已经由 $m_z$ 固定，所以 $r \to 0$ 时角速度产生的能量占主导，$J_{m_z}(kr)$ 的局部波长变长，而 $r\to \infty$ 时径向速度几乎占据所有能量，这时 $J_{m_z}(kr)$ 的局部波数趋近于 $k$。

　　再考虑到边界条件要求 $R_{m_z}(a) = 0$，可以得到每个能级的 $k_n$，$E_n = k_n^2/2$。波函数的正交性也可以从贝塞尔函数对应的正交归一性质得到。