贡献者： int256; addis
1Kummer 函数 $M(a, b, z)$，也叫合流超几何函数 $_1F_1(a, b; z)$（有时省略两个 “$1$” 的下标，直接写作 $F(a, b; z)$），是以下微分方程的解
\begin{equation}
z \frac{\mathrm{d}^{2}{f}}{\mathrm{d}{z}^{2}} + (b-z) \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{z}} - a f = 0~.
\end{equation}
特别的，当 $1 - b \neq \mathbb Z$ 时方程有另一解
$$z^{1-b} {_1F_1}(a-b+1, 2-b; z)~.$$
Kummer 函数是超几何函数的一个特例，
\begin{equation}
M(a, b, z) = {_1F_1}(a, b; z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{(b)_n} \frac{z^n}{n!}~.
\end{equation}
其中 $(a)_n = a(a+1)\dots(a+n-1)$，叫做
Pochhammer 符号（等价于上升幂）。
${_1F_1}$ 还存在一个积分表示
\begin{equation}
{_1F_1}(a, b; z) = \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a) \Gamma(b-a)} \int_0^1 {e^{zt} t^{a-1} (1-t)^{b-a-1} \,\mathrm{d}{t} } ~,
\end{equation}
其中 $ \operatorname{Re} b > \operatorname{Re} a > 0$。
1. 合流超几何函数的应用
合流超几何函数在类氢原子束缚态的薛定谔方程的径向波函数的解中很常见，例如式 4 ：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\rho}^{2}} + \left[-1 - \frac{2\eta}{\rho} - \frac{l(l+1)}{\rho^2} \right] u = 0~.
\end{equation}
考察这微分方程在 $\rho \rightarrow 0$ 时的情形。此时变为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\rho}^{2}} - \frac{l(l+1)}{\rho^2} u = 0 ~.
\end{equation}
从而 $u$ 的通解是 $u(\rho) = C_1 \rho^{l+1} + C_2 \rho^{-l}$ 的形式。而在 $\rho \rightarrow 0$ 时 $\rho^{-l} \rightarrow \infty$，故必然有 $C_2 = 0$。类似地，考察其在 $\rho \rightarrow \infty$ 时的情形有渐进解 $ \exp\left(-\rho/2\right) $。故可以将 $u$ 的解写作
\begin{equation}
u(\rho) = \rho^{l+1} \exp\left(-\rho/2\right) y(\rho) ~,
\end{equation}
的形式。
将 $y$ 代入会发现新大陆：
\begin{equation}
\rho \frac{\mathrm{d}^{2}{y}}{\mathrm{d}{\rho}^{2}} + (c-\rho) \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{\rho}} -ay = 0 ~.
\end{equation}
$a$ 和 $c$ 是带入后计算出的常数。这微分方程恰好符合
式 1 的形式。这方程有通解
\begin{equation}
y(\rho) = A_{} {}_{1}F_1(a, c; \rho) + B \rho^{1-c}{} _{1}F_{1}(a-c+1, 2-c; \rho) ~.
\end{equation}
类似的考虑 $\rho\rightarrow \infty$ 时的情况，应有 $B=0$。从而有 $u$ 的解可以表示为
\begin{equation}
u(\rho) = A \rho^{l+1} \exp\left(-\rho/2\right) {_1F_1}(a, c; \rho) ~~
\end{equation}
的形式。
1. ^ 见 NIST 相关页面。