连分数
贡献者： addis
1连分数（continued fraction）形如
\begin{equation}
a_0 + \frac{1}{\displaystyle a_1 + \frac{1}{\displaystyle a_2 + \frac{1}{\displaystyle \ddots + \frac{1}{a_n}}}}~
\end{equation}
其中要求所有 $a_i$
都是整数，且除 $a_0$ 外，其他 $a_i$ 都
大于零。若有无穷多项即 $n\to\infty$，则将其称为
无穷连分数。如果不要求 $a_i$ 为整数，也不要求分子都为 1，那么称其为
广义连分数，见下文。为了方便书写，也可以记为
\begin{equation}
a_0 + \frac{1}{a_1 + }\frac{1}{a_2 + }\dots \frac{1}{a_n}~.
\end{equation}
或者更简洁地，记为
\begin{equation}
[a_0;\ a_1,\ a_2,\ \dots\ ,\ a_n]~.
\end{equation}
连分数有性质
\begin{equation}
[a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n] = [a_0, a_1, \dots, a_{n-1}+\frac{1}{a_n}] = [a_0, [a_1, \dots, a_n]]~.
\end{equation}
每个实数都可以被表示为一个唯一的连分数：对实数 $x$，取其整数部分为 $a_0$，把剩余部分取倒数，令 $x_1 = 1/(x-a_0)$，那么它的整数部分就是 $a_1$，再把剩余部分取倒数，令 $x_2 = 1/(x_1 - a_1)$，它的整数部分就是 $a_2$，以此类推。
1. 广义连分数
广义连分数的形式为
\begin{equation}
b_0 + \frac{a_1}{\displaystyle b_1 + \frac{a_2}{\displaystyle b_2 + \frac{a_3}{\displaystyle b_3 + \dots}}}~
\end{equation}
其中 $a_i, b_i$ 不要求是整数，甚至可以是函数。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。