虚误差函数
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误差函数
虚误差函数
的定义为
(1)
erfi
(
x
)
=
−
i
erf
(
i
x
)
=
1
π
∫
−
x
x
e
t
2
d
t
=
2
π
∫
0
x
e
t
2
d
t
.
推导如下,使用换元法
t
=
i
τ
有
(2)
erfi
(
x
)
=
−
i
π
∫
−
i
x
i
x
e
t
2
d
t
=
−
i
π
∫
−
x
x
e
−
(
i
τ
)
2
d
(
i
τ
)
=
1
π
∫
−
x
x
e
τ
2
d
τ
.
同理可得
(3)
erfi
(
i
x
)
=
i
erf
(
x
)
,
其导函数为
(4)
d
d
x
erfi
(
x
)
=
2
π
e
x
2
,
所以
(5)
∫
e
x
2
d
x
=
π
2
erfi
(
x
)
+
C
.
与误差函数的级数展开同理,
erfi
(
x
)
的级数展开为
(6)
erfi
(
x
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
n
!
=
2
π
(
x
+
x
3
3
+
x
5
10
+
x
7
42
+
x
9
216
…
)
.
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