虚误差函数

                     

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预备知识 误差函数

   虚误差函数的定义为

(1)erfi(x)=ierf(ix)=1πxxet2dt=2π0xet2dt .

   推导如下,使用换元法 t=iτ

(2)erfi(x)=iπixixet2dt=iπxxe(iτ)2d(iτ)=1πxxeτ2dτ .
同理可得
(3)erfi(ix)=ierf(x) ,

   其导函数为

(4)ddxerfi(x)=2πex2 ,
所以
(5)ex2dx=π2erfi(x)+C .

   与误差函数的级数展开同理,erfi(x) 的级数展开为

(6)erfi(x)=2πn=0x2n+1(2n+1)n!=2π(x+x33+x510+x742+x9216) .

                     

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