贡献者： addis; jingyuan
定义 1 等比数列
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母 $q$ 表示 $(q\ne 0)$。
通项公式
由定义可得，等比数列的通项公式
\begin{equation}
a_n = a_1 q^{n-1} \quad (a_1 \ne 0,\ q\ne 0,\ n=1,2,3\dots)~
\end{equation}
等比中项
与等差数列类似，如果在 $a$ 和 $b$ 中插入一个数 $G$，使得 $a,G,b$ 成等比数列，那么根据等比数列的定义，$\frac{G}{a} = \frac{b}{G},G^2 = ab,G = \pm \sqrt{ab}$。我们称 $G$ 为 $a,b$ 的等比中项。
易得，在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它前后两项的等比中项。
1. 前 $n$ 项的和
等比数列求和与等差数列求和有相似之处，
\begin{equation}
S = a_1 + a_2 + \cdots + a_n~,
\end{equation}
\begin{equation}
qS = qa_1 + qa_2 + \cdots + qa_n~,
\end{equation}
\begin{equation}
qS= a_2 + a_3 + \cdots + qa_n~.
\end{equation}
与
式 4 做差
\begin{equation}
\begin{aligned}
(1 - q)S &= a_1 - qa_n\\
&= a_1(1 - q^n)~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
S = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \quad (q\neq 1)~.
\end{equation}
则等比数列前 $n$ 项和为
\begin{equation}
S =
\begin{cases}
\begin{aligned}
&na_1 &\quad &(q = 1) \\
&\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} &\quad &(q \neq 1)~.
\end{aligned}
\end{cases}
\end{equation}
当等比数列无穷递缩时，即 $0< q<1$，$n\rightarrow \infty$。这里的极限详见 “数列的极限（简明微积分）”。
\begin{equation}
S = \frac{a_1}{1 - q}~.
\end{equation}
2. 用数学归纳法证明求和公式
要证明求和公式
\begin{equation}
1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}~.
\end{equation}
使用数学归纳法，当 $n = 1$ 时
\begin{equation}
\frac{q^n - 1}{q - 1} = 1~,
\end{equation}
恰好是第 1 项。第 $n + 1$ 项为
\begin{equation}
\frac{q^{n+1} - 1}{q - 1} - \frac{q^n - 1}{q - 1} = q^n~.
\end{equation}
证毕。