贡献者： 欄、停敘; jingyuan; addis
不知道你是否注意过，人们在上台阶时，一般会一阶一阶地走；有的人喜欢两阶两阶地跨，总是隔着一阶；还有的人更大胆，三阶三阶地跨。这些看似随意的方式，其实都有一个固定的模式——每次跨的台阶数是恒定的。这种固定的规律，就像一条隐形的线，把每次的动作串联在一起，形成了数学中所说的等差数列。
等差数列是最简单的数列之一，早在小学阶段就已经接触过了——如果从 $1$ 开始选取到 $n$ 的 $n$ 个自然数，它们按顺序排列就构成了一个等差数列，而这个数列的求和方法更是耳熟能详。相传，高斯小时候被老师要求计算从 1 加到 100 的总和，他敏锐地发现了其中的规律：可以将首项和末项配对，这样所有的项都变成了相同的和，再乘以项数的一半就能快速得到结果。这种求和方式总结为一句顺口溜：“首项加末项，乘以项数除以 2”，至今仍为许多人津津乐道。
在接下来的内容中，将探索等差数列及其相关的数学性质，有以下几点需要关注：首先是等差数列本身的结构与特性，其次是它的求和公式及相关推导过程。此外，还将探讨等差数列与函数的关系，理解它在更广泛数学背景中的地位。作为学习数列的第一步，等差数列也为研究其他数列提供了一个范例，通过它可以学习如何分析数列的构成、关注哪些信息，以及用哪些方法来进行研究。这不仅是对数列知识的学习，也是一种数学思维方式的培养。
1. 等差数列
从台阶的故事中可以看出，不论是每次跨一阶、两阶还是三阶，这些方式都有一个共同的特点：每次跨的台阶数是固定的，即两次动作之间的差始终相等。这种规律不仅出现在上台阶这样的情景中，还广泛存在于其他现象中，例如每天增加固定的储蓄金额，或者不断调整音量时每次调节相同的数值。无论这些场景多么不同，它们的本质都是一种 “均匀增加或减少” 的过程，由固定的差值串联起来。
定义 1 等差数列
如果数列 $\{a_n\}$ 满足对于 $n > 1$ 的所有项，每一项与前一项的差为同一个常数 $d$，则称 $\{a_n\}$ 为等差数列（arithmetic sequence）1，$d$ 称为 $\{a_n\}$ 的公差（common difference），即等差数列满足递推公式：
\begin{equation}
a_{n}=a_{n-1}+d\qquad(n>1)~.
\end{equation}
特别地，之前提到的常数列是 $d = 0$ 的等差数列。如果公差 $d$ 为负，数列的值会逐渐减少，例如 $10, 8, 6, \dots$。有了递推公式，自然要研究一下是否可以得到通项公式，下面介绍两种推导等差数列通项公式的方法：通常，可以通过检测一个数列是否满足定义的条件来判断其是否是等差数列（arithmetic sequence）。
方法一：迭代递推公式
当 $n>1$ 时，利用递推公式 $a_n = a_{n-1} + d$ 逐步将数列的前一项用递推公式展开，可以得到：
\begin{equation}
\begin{aligned}
a_n &= a_{n-1} + d \\
&= a_{n-2}+d + d\\
&\cdots \\
&= a_2 + (n-2)d\\
&= a_1 + (n-1)d~.
\end{aligned}
\end{equation}
方法二：错位相减法
它是累加法的一个特例，核心思想是利用数列的结构性（如相邻项有规律的差或比），通过累加将多项式或等式中的部分消去，从而简化计算。实际操作时，首先根据递推公式写出 $n-1$ 个等式：
\begin{equation}
\begin{split}
& & & & & a_2& -a_1 & = d, \\
& & & a_3 & -&a_2& & = d, \\
& \ \ \ \ a_4 &- &a_3& & & & = d, \\
& & && & & &\cdots \\
a_n - & a_{n-1}& & & & & & = d~.
\end{split}
\end{equation}
从上面的格式就可以看出，相邻两行相同的项正好可以抵消。实际操作时，可以把将这些等式的左侧和右侧分别相加，得到：
\begin{equation}
(a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + (a_4 - a_3) + \cdots + (a_n - a_{n-1}) = d + d +d+ \cdots + d~.
\end{equation}
将左侧的括号打开，这时由于相邻项的抵消，剩余的部分只有 $a_n-a_1$，左侧则是 $n-1$ 项和，即：
\begin{equation}
a_n -a_1=(n-1)d~.
\end{equation}
式 2 的迭代推导与 式 3 通过差的累加推导，分别代表了研究数列的两种重要构造方法：前者通过递推公式逐步展开，体现了数列构造中的递推思想；后者利用 $a_n=(a_n-a_{n-1})+ \cdots+(a_3 - a_2) +(a_2 - a_1) + a_1$ 的技巧，将通项的构造转化为求和问题，从而利用数列的内在规律化简计算。尽管两种方法路径不同，最终均将第 $n$ 项表示为首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的线性关系。需要注意的是，在推导出公式后，必须验证其是否符合边界条件。当 $n = 1$ 时，代入式 2 得：
\begin{equation}
a_1 = a_1 + (1 - 1)d = a_1~,
\end{equation}
这个结果表明，这个关系对 $n = 1$ 的边界条件依然成立，因此最终得到等差数列的通项公式。
推论 1 等差数列通项公式
对等差数列 $\{a_n\}$，其通项公式为：
\begin{equation}
a_n = a_1 + (n - 1)d~.
\end{equation}
其中，$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
在判断一个数列是否为等差数列时，可以通过两种方法：一种是利用通项公式，由于通项公式常见，因此经常成为主要的判断依据；另一种是检测该数列是否满足定义的条件，即任意相邻两项的差为定值。这后一种方法虽然在实际应用中常被忽略，但同样有效。由于通项公式与定义是等效的，因此这两种方法在判断上的效力相同。不仅如此，通过它们判断一个数列为等差数列后，还可以直接得到公差 $d$。需要注意的是，公差在等差数列中起着核心作用，它决定了数列的整体变化规律和趋势。进一步地，对于任何等差数列，一旦确认其为等差数列，首项和公差便能够唯一确定。因此，如果两个数列的首项和公差对应相等，那么可以认定它们是同一个等差数列。
例 1 证明：若 $\{a_n\}$ 通项公式形式为 $a_n=kn+b$，则其为等差数列。
对于 $n>1$，有：
\begin{equation}
a_n-a_{n-1}=kn+b-k(n-1)-b=k~.
\end{equation}
说明 $\{a_n\}$ 是以 $k$ 为公差的等差数列，通项公式带入 $n=1$ 有，$a_1=b+k$。
例 1 提供了另一个常见的判断等差数列的方法。
2. 等差数列的性质
观察例 1 可以发现，其形式与一次函数完全一致。其实，通过变形等差数列的通项公式，可以得到以下形式：
\begin{equation}
a_n=dn+(a_1-d)~.
\end{equation}
在
数列中曾介绍过数列与函数的关系，
式 9 与
例 1 都可以说明，等差数列实际上是一次函数的离散形式。换句话说，在直角坐标系中，如果将数列的项数 $n$ 作为横坐标，数列的值 $a_n$ 作为纵坐标，则点 $(n, a_n)$ 将分布在一条直线上。
由于直线上任意一点和斜率即可确定整条直线，对于等差数列，同样可以不难证明，只需知道任意一项及公差，就能够确定整个数列，满足以下关系式：
\begin{equation}
a_n=a_k+(n-k)d~.
\end{equation}
进而，可以推导出另一个重要关系：
\begin{equation}
d={a_n-a_k\over n-k}~.
\end{equation}
这一公式与
平均变化率或
斜率的定义非常相似，也进一步说明了等差数列与一次函数之间的密切关系。根据直线的性质，可以类比得到下面的判断：
推论 2 等差数列的增减性
对于公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_n\}$：
- 如果 $d > 0$，则 $\{a_n\}$ 是递增数列；
- 如果 $d < 0$，则 $\{a_n\}$ 是递减数列。
这一点也可以从等差数列的递推公式变形得到的 $a_{n+1}-a_n=d$ 中得到印证。另外，根据式 11 ，还可以得到等差数列的一个重要性质：取四个整数，满足 $m+n=p+q$，即 $p-n=m-q$，则有：
\begin{equation}
{a_p-a_n\over p-n}=d={a_m-a_q\over m-q}~.
\end{equation}
带入两侧分母相等的条件可以得到：
推论 3
对于等差数列 $\{a_n\}$，若满足 $m+n=p+q$，则有：
\begin{equation}
a_m+a_n=a_p+a_q~.
\end{equation}
如果在 $a$ 和 $b$ 之间插入一个数 $A$，使 $a, A, b$ 成等差数列，即：
\begin{equation}
A - a = b - A~.
\end{equation}
则称 $A$ 为 $a$ 与 $b$ 的
等差中项（median of an arithmetic sequence）。显然，可以得到：
\begin{equation}
A = \frac{a+b}{2}~.
\end{equation}
这说明，$a$ 与 $b$ 的等差中项正好是他们的
算术平均值（arithmetic mean）2。反过来，从
式 14 也可以得到：
\begin{equation}
2A = a+b~.
\end{equation}
结合
推论 3 可以知道，对于一个等差数列，如果某两项的项数和恰好是另一项的两倍，那么这第三项就是那两项的等差中项。不过需要注意，这要求那两项的项数和必须是偶数，否则无法在等差数列中找到符合条件的项
3。
从上述内容可以看出，“等差中项” 这个名字可以从两个角度理解：一方面，它可以指在两个数之间插入的一个数，与它们构成等差关系；另一方面，它也可以指等差数列中，处于某两项中间位置的那项。
3. 等差数列的数列和
讨论完等差数列的性质后，接下来研究其数列和的计算方法。在学习数列时，曾提到过数列和的一个性质。基于这一性质，可以通过将数列分别正序和倒序排列后相加来计算其和：
\begin{equation}
\begin{split}
2S_n &= (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)+(a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1)\\
&=(a_1+a_{n})+(a_2+a_{n-1}) +\cdots +(a_n+a_1)~.
\end{split}
\end{equation}
观察
式 17 ，每对括号中的两项下标之和均为 $n+1$，根据
推论 3 ，这意味着括号内的和均相等，设数列共有 $n$ 项，取和为 $a_1 + a_n$，则共有 $n$ 对这样的和，因此：
\begin{equation}
2S = n \cdot (a_1+a_n)\implies S = \frac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}~.
\end{equation}
这一公式表明，等差数列的和可以通过一种简洁的方法计算。这与本文开头提到的 “首项加末项，乘以项数除以 2” 方法完全一致。将等差数列的通项公式代入式 18 可以得到等差数列和的通项公式：
推论 4 等差数列和的通项公式
对等差数列 $\{a_n\}$，其数列和 $\{S_n\}$ 的通项公式为：
\begin{equation}
S_n = na_1+\frac{n(n-1)}{2}d~.
\end{equation}
其中，$a_1,d$ 是等差数列的首项和公差，$n$ 是项数。
等差数列的数列和通项公式与等差数列自身密切相关，两者都由首项和公差唯一决定。通过对式 19 变形，可以将其表达为：
\begin{equation}
S_n = \frac{d}{2}n^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n~.
\end{equation}
这一表达式表明，数列和分布在关于 $n$ 的经过原点的二次函数上，可以验证，若 $\{a_n\}$ 是等差数列，则 $S_n$ 必须具有 $S_n = An^2 + Bn$ 的形式。
例 2 若 $\{a_n\}$ 的数列和为 $S_n=An^2+Bn+C,(ABC\neq0)$，判断 $\{a_n\}$ 是否为等差数列。
答：
$\{a_n\}$ 不是等差数列。
解析：
首先，由数列的和 $S_n$ 的定义可得首项为 $a_1=S_1=A+B+C$。
对于 $n>1$，根据 $a_n = S_n - S_{n-1}$，有
\begin{equation}
\begin{split}
a_n &= S_n-S_{n-1}\\
&=An^2+Bn+C-A(n-1)^2-B(n-1)-C\\
&=(2n+1)A+B~.
\end{split}
\end{equation}
分别计算相邻两项的差：
\begin{equation}
\begin{split}
a_2 - a_1 &= (2A \cdot 2 + A + B) - (A + B + C) \\
&= 4A + A + B - A - B - C \\
&= 2A - C~.
\end{split}
\end{equation}
$n>2$ 时，两项之差为：
\begin{equation}
a_n-a_{n-1} = (2n+1)A+B-(2n-1)A-B=2A~.
\end{equation}
由此可以看出，从 $a_2$ 开始，数列 $\{a_n\}$ 的相邻两项之间的差是固定的，即 $2A$，因此后续项构成等差数列。然而，由于 $C \neq 0$，$a_2 - a_1 = 2A - C$ 与 $a_n - a_{n-1} = 2A$ 不相等，说明首项与后续项之间的差异导致 $\{a_n\}$ 整体不构成等差数列。
在例 2 中，尽管数列 ${a_n}$ 的后续项具有等差性，但由于边界条件的特殊性（首项与后续项之间存在差异）影响了整体的判断。这里再次提醒，边界条件在问题中起到关键作用，在处理计算题时，必须特别注意边界条件是否成立，以避免因忽视边界条件而导致的错误结论。
数列和分布的具体形态由公差 $d$ 决定：
- 当 $d > 0$ 时，数列和分布在一条开口向上的抛物线上；
- 当 $d < 0$ 时，数列和分布在一条开口向下的抛物线上。
由于数列和的分布呈抛物线形状，自然会引发一个常见问题：它的最值出现在何处？以下以 $d > 0$ 为例进行分析，即数列和分布在一条开口向上的抛物线上。
这样的抛物线导数为正，这正好对应推论 2 中 “${a_n}$ 是递增数列” 的结论。由于抛物线是开口向上的，其最小值是必然存在的。如果想要求 $x>0$ 时的最小值，根据抛物线性质，已知一个零点为原点，如果抛物线的对称轴位于原点左侧，则右侧部分单调递增，这意味着最小值出现在自变量最小处。如果对称轴位于原点右侧，则最小值出现在对称轴对应的位置。因此，对称轴的位置是分析抛物线最值的关键。而对称轴对应的正是导数为零的点4。根据数列和与数列本身的关系，由式 7 ，令 $a_n = 0$，可以解得：
\begin{equation}
n_0=1-\frac{a_1}{d}~.
\end{equation}
这里 $n_0$ 的值不一定是整数，因此可能出现以下两种情况：
- 如果 $n_0$ 是整数，则 $a_{n_0} = 0$，此时数列和在 $n_0$ 处取得最小值。
- 如果 $n_0$ 介于某个整数 $n$ 和 $n+1$ 之间，则 $a_n < 0$ 且 $a_{n+1} > 0$。
这与函数中直接求得对称轴为具体实数的情形不同，反映了数列与函数之间的离散性差异。
综合上面所有的分析，如果 $n_0 \leq 1$，则数列和的最小值是 $S_1$。此时可以推导出 $a_1 \geq 0$，即当 $a_1$ 非负时，数列和的最小值在 $n=1$ 处取得。反之，当 $a_1 < 0$ 且 $d > 0$ 时，存在 $a_1 < a_2 < \dots < a_k \leq 0$，并且 $a_{k+m}>0(m\in\mathbb{N})$，判定说明后可直接声称 $S_n$ 的最小値为 $S_{\min}=S_k(a_k < 0)$ 或 $S_{\min}=S_k=S_{k+1}(a_k=0)$。
此外，对于抛物线的对称轴，其位置可直接表示为：
\begin{equation}
x=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2\cdot\frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}~.
\end{equation}
可能有人会疑惑，为何
式 24 和
式 25 的形式存在一些差异？这实际上是由于差分运算与求导运算之间的本质区别所导致的。需要特别提醒的是，用函数的方法处理数列虽然在理解上直观，但在直接推导结论时，需格外注意这种运算方式的差异可能引发的问题。此处仅作提示，具体细节不再赘述。
1. ^ 这里可以看到，等差数列的英语直译的话叫做 “算数数列”，中文的名称更加直白，而英文如此称呼的原因，在后文会提及。
2. ^ 关于算术平均值参见基本不等式。算术平均值的英语也和等差数列的英语使用了一样的单词 “arithmetic”。
3. ^ 与此不同的是，对于直线，无论什么情况下都可以找到对应的点。
4. ^ 事实上，下面求解的目标就是差分为 0 的点。