映射的同伦和空间的同伦

贡献者： JierPeter; addis

　　 同胚的两个拓扑空间是完全相同的，在拓扑学意义下无法区分。证明两个拓扑空间同胚通常是非常困难的，但证明两个拓扑空间不同胚却可以有很多容易计算的方法，其中一个方法就是证明两个拓扑空间不同伦。

　　 同伦是一种比同胚弱一些的关系。为了介绍拓扑空间中的同伦，我们首先要讨论映射的同伦。我们对于映射之间的关系和拓扑空间之间的关系都使用了 “同伦” 这一术语，但不会造成混淆，因为两个 “同伦” 之间是相互导出的概念，并且所针对的对象不同。

1. 映射的同伦

　　 同伦的本质是道路。这句话有两个含义：第一，固定 $X$ 中的某一点 $x_0$，那么 $p(t): = H(x_0, t)$ 就是一个 $I$ 到 $Y$ 的映射，是一条道路；第二，在映射空间 $Y^X$ 中来看，$f_0$ 和 $f_1$ 分别是两个点，而 $H$ 就可以看成是一个从闭区间 $I$ 到 $Y^X$ 上的映射，也是一条道路。因此，我们有以下两条重要定理，一个写为习题，一个写为定理：

　　 证明：

　　 直接引用定理 2 ，令 $Z=I$，$f=H$，则 $p=\widetilde{f}$，因此 $p$ 是连续映射。

　　 证毕。

　　 习题 1 和定理 1 分别对于 $X$ 中的给定点以及 $X$ 整体的角度描述了同伦和道路的关系。定理 1 说明，两映射同伦，等价于说两映射是同一条道路的两端，还等价于说两映射是同一条道路上的两点。由于道路可以首尾相接从而得到新的道路，因此同一个映射空间中，如果 $f\cong g$ 而 $g\cong h$，那么一定有 $f\cong h$。这就是说，同伦关系是具有传递性的。考虑到同伦关系显然还有自反性和对称性，我们直接可得如下定理：

　　 映射之间还有复合运算，同伦关系也会继承到复合运算上。

　　 证明：

　　 由于 $F:X\times I\rightarrow Y$ 和 $g_0:Y\rightarrow Z$ 都是连续映射，故 $g_0\circ F:X\times I\rightarrow Z$ 是一个连续映射，故 $g_0\circ F$ 是一个连接了 $g_0\circ f_0$ 和 $g_0\circ f_1$ 的道路。故 $g_0\circ f_0\cong g_0\circ f_1$。

　　 类似地，$G \circ (f_1 \times 1_I): X \times I \rightarrow Z$¹是一个连接了 $g_0 \circ f_1$ 和 $g_1\circ f_1$ 的道路，故 $g_0 \circ f_1\cong g_1 \circ f_1$。

　　 综上，由映射同伦的传递性，$g_0 \circ f_0\cong g_1 \circ f_1$。

　　 证毕。

2. 拓扑空间的同伦

　　 同伦和同胚一样，也是一个等价关系，只是要更弱一些，使得不同胚的空间也有可能同伦。当然，同胚的空间必然同伦。

3. 思考

　　 在映射空间中所定义的紧开拓扑看起来很不接地气。本小节习题 1 直观地阐释了同伦的意义，即对于每个固定点 $x_0\in X$，同伦 $H$ 都会在 $Y$ 中画出一条道路，这意味着每个点的映射都是连续地变化的。定理 1 说明，整体上来看，$H$ 本身是映射空间 $Y^X$ 中的一条道路。从这个联系来看，思考一下为什么要用紧开拓扑来定义映射空间。

1. ^ $1_I:I\rightarrow I$ 是恒等映射，$f_1 \times 1_I$ 的定义见乘积拓扑中的习题 1 。