贡献者： addis
预备知识 傅科摆（科普）
，单摆
，
圆周运动的速度，
空间向量的叉乘，
连续叉乘的化简
傅科摆是首个直接证明地球自转的实验。试想如果把一个不受任何阻力的单摆放在地球的北极，那么地球每自转一定角度，单摆的摆平面不变，所以以地球为参考系观察，摆平面将反方向转动，这样就能证明地球在自转。现实中，为了能克服阻力和微扰长时间摆动，通常使用质量较大，摆臂较长的摆作为傅科摆。
但若傅科摆被放在北纬 $\alpha$ 角处，摆平面的将会以怎样的角速度转动呢？事实证明，若令地球自转的角速度为 $\omega_0$，则单摆相对地面转动的角速度 $\omega$ 将等于
\begin{equation}
\omega = \omega_0 \sin\alpha~.
\end{equation}
1. 一种几何推导
设 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 为地心指向傅科摆的矢量，$\hat { \boldsymbol{\mathbf{R}} }$ 是其单位矢量，当地纬度为 $\alpha$，地轴指向北的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $，有
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} = \cos\left(\pi/2 - \alpha\right) = \sin\alpha~.
\end{equation}
若把任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 围绕某单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{M}}} $ 以右手定则旋转角微元 $ \,\mathrm{d}{\theta} $，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{M}}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{P}} \,\mathrm{d}{\theta} ~.
\end{equation}
开始时，令傅科摆在最低点的速度方向的单位向量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $（$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} = 0$），在傅科摆下方的水平地面上标记单位向量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} $，使开始时 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $。当傅科摆随地球在准静止状态下移动位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $（$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} = 0$）后，由
式 3 可得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{M}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{\theta} =
\frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right\rvert } \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \frac{ \,\mathrm{d}{s} }{R}~.
\end{equation}
注意这只是一个比较符合物理直觉的假设，这里并不给出证明。当地球转动 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 时，上式中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} \,\mathrm{d}{\theta} $，而地面上的标记 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} $ 也围绕地轴转动，所以 $ \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} $。
下面计算 $ \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } - \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } $。因为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = 0$，所以 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right\rvert = R \,\mathrm{d}{s} $，所以
\begin{equation} \begin{aligned}
\,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } }{R^2} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} =
\frac{1}{R^2} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} \,\mathrm{d}{\theta} ) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \\
&= \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\times ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} =
[( \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} - ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ] \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} \\
&= ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \sin\alpha) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} ~,
\end{aligned} \end{equation}
其中第二行使用了 “
连续叉乘的化简”。
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } - \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } = ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \sin\alpha) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} = -\sin\alpha \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} ~.
\end{equation}
所以地球转过 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 角以后，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $ 与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} $ 之间的夹角为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\gamma} = \left\lvert \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } - \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } \right\rvert = \sin\alpha \,\mathrm{d}{\theta} ~,
\end{equation}
两边除以 $ \,\mathrm{d}{t} $ 得角速度
\begin{equation}
\omega = \omega_0 \sin\alpha~.
\end{equation}