傅科摆的角速度推导

                     

贡献者： addis

　　 傅科摆是首个直接证明地球自转的实验。试想如果把一个不受任何阻力的单摆放在地球的北极，那么地球每自转一定角度，单摆的摆平面不变，所以以地球为参考系观察，摆平面将反方向转动，这样就能证明地球在自转。现实中，为了能克服阻力和微扰长时间摆动，通常使用质量较大，摆臂较长的摆作为傅科摆。

　　 但若傅科摆被放在北纬 $\alpha$ 角处，摆平面的将会以怎样的角速度转动呢？事实证明，若令地球自转的角速度为 ${\omega }_0$，则单摆相对地面转动的角速度 $\omega$ 将等于

1. 一种几何推导

　　 设 $\mathbf{R}$ 为地心指向傅科摆的矢量，$\hat{\mathbf{R}}$ 是其单位矢量，当地纬度为 $\alpha$，地轴指向北的单位矢量为 $\hat{\mathbf{k}}$，有

　　 若把任意矢量 $\mathbf{P}$ 围绕某单位矢量 $\hat{\mathbf{M}}$ 以右手定则旋转角微元 $\mathrm{d}\theta$，有

开始时，令傅科摆在最低点的速度方向的单位向量为 $\hat{\mathbf{A}}$（$\hat{\mathbf{A}}\mathbf{\cdot }\mathbf{R}=0$），在傅科摆下方的水平地面上标记单位向量 $\hat{\mathbf{B}}$，使开始时 $\hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{A}}$。当傅科摆随地球在准静止状态下移动位移 $\mathrm{d}\mathbf{s}$（$\mathrm{d}\mathbf{s}\mathbf{\cdot }\mathbf{R}=0$）后，由式 3 可得

注意这只是一个比较符合物理直觉的假设，这里并不给出证明。当地球转动 $\mathrm{d}\theta$ 时，上式中 $\mathrm{d}\mathbf{s}=\hat{\mathbf{k}}\mathbf{\times }\mathbf{R}\mathrm{d}\theta$，而地面上的标记 $\hat{\mathbf{B}}$ 也围绕地轴转动，所以 $\mathrm{d}\hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{k}}\mathbf{\times }\hat{\mathbf{A}}\mathrm{d}\theta$。

　　 下面计算 $\mathrm{d}\hat{\mathbf{A}}-\mathrm{d}\hat{\mathbf{B}}$。因为 $\mathbf{R}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathbf{s}=0$，所以 $|\mathbf{R}\mathbf{\times }\mathrm{d}\mathbf{s}|=R\mathrm{d}s$，所以

其中第二行使用了 “连续叉乘的化简”。 所以地球转过 $\mathrm{d}\theta$ 角以后，$\hat{\mathbf{A}}$ 与 $\hat{\mathbf{B}}$ 之间的夹角为 两边除以 $\mathrm{d}t$ 得角速度